Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen, die gleichzeitig gelöst werden.

Was ist ein Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Unbekannten:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Eine Lösung ist ein geordnetes Paar $(x, y)$ , das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Lösungsmethoden

Einsetzungsverfahren

1
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Wähle die einfachere Gleichung und isoliere eine Variable.
2
In die andere Gleichung einsetzen
Ersetze die isolierte Variable in der zweiten Gleichung.
3
Die resultierende Gleichung lösen
Dies ergibt den Wert einer Variablen.
4
Rückeinsetzen, um die andere Variable zu finden
Den gefundenen Wert in den Ausdruck aus Schritt 1 einsetzen.

Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)

1
Gleichungen multiplizieren, um Koeffizienten anzupassen
Eine oder beide Gleichungen multiplizieren, sodass eine Variable gleiche (oder entgegengesetzte) Koeffizienten hat.
2
Gleichungen addieren oder subtrahieren
Eine Variable durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen eliminieren.
3
Nach der verbleibenden Variable auflösen
Das Ergebnis ist eine Gleichung mit einer Variable.
4
Die zweite Variable finden
Zurückeinsetzen, um die andere Unbekannte zu finden.

Gleichungssystem: x + y = 5, 2x − y = 4

Mit dem Additionsverfahren:

Gleichungen addieren: $3x = 9 \implies x = 3$

Einsetzen: $3 + y = 5 \implies y = 2$

Lösung: $(3, 2)$

Arten von Lösungen

Typ	Bedeutung	Geometrische Interpretation
Eine Lösung	Geraden schneiden sich in einem Punkt	Konsistent, unabhängig
Keine Lösung	Geraden sind parallel	Inkonsistent
Unendlich viele	Geraden sind identisch	Konsistent, abhängig

Hinweis

Ein Gleichungssystem ohne Lösung wird als inkonsistent bezeichnet. Ein System mit unendlich vielen Lösungen wird als abhängig bezeichnet.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Zwei Geschäfte vergleichen

Shop A berechnet €5 pro Artikel plus €3 Versandkosten; Shop B berechnet €3 pro Artikel plus €9 Versandkosten. Gleichpunkt: $5x + 3 = 3x + 9 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ Artikel. Bei mehr als 3 Artikeln ist Shop B günstiger.

Praxisbezug: Zwei Getränke mischen

Mische ein 20%iges und ein 60%iges Saftgetränk zu 400 ml 35%igem Saft. Mit $a$ ml (20%) und $b$ ml (60%): $a + b = 400$ und $0{,}20a + 0{,}60b = 140$ . Lösung: $a = 250$ ml und $b = 150$ ml.

Praxisbezug: Handwerkerpreise vergleichen

Elektriker A: €40 Anfahrt plus €20/h; Elektriker B: €10 Anfahrt plus €35/h. Gleiche Kosten bei: $40 + 20h = 10 + 35h \implies 15h = 30 \implies h = 2$ Stunden. Für Aufträge länger als 2 Stunden ist Elektriker A günstiger.

Tipp

Wo begegnest du dem? Vergleich von Handytarifen, Lösen in der Chemie, Break-even-Berechnungen im Unternehmen, Vergleich von Kostenvoranschlägen verschiedener Firmen.

Übungsaufgaben

Löse: x + y = 7 und x − y = 3

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Gleichungen addieren: 2x = 10 → x = 5. Einsetzen: 5 + y = 7 → y = 2. Lösung: (5, 2)

Löse durch Einsetzungsverfahren: y = 2x und x + y = 9

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Einsetzen: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3, y = 6. Lösung: (3, 6)

Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem 2x + 4y = 6 und x + 2y = 3?

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Die zweite Gleichung mal 2 ergibt die erste — unendlich viele Lösungen (abhängiges System)