Oblúky a výseče kružnice

Oblúk je časť obvodu kružnice; výseč je „výrez koláča" ohraničený dvoma polomermi a oblúkom. Obe hodnoty sa počítajú ako časť celej kružnice, kde zlomok = uhol ÷ 360.

Čo sú oblúky a výseče?

Oblúk je zakrivená časť obvodu kružnice.
Výseč je „výrez koláča" ohraničený dvoma polomermi a oblúkom.

Uhol pri strede kružnice (tzv. stredový uhol $\theta$ ) nám hovorí, akú časť celej kružnice tvorí výseč:

$\text{Zlomok} = \frac{\theta}{360}$

Vzorec na dĺžku oblúka

Dĺžka oblúka

\text{Dĺžka oblúka} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r

θ = stredový uhol v stupňoch, r = polomer

Nájdi dĺžku oblúka

Výseč má polomer 10 cm a stredový uhol 72°.

$\text{Oblúk} = \frac{72}{360} \times 2\pi \times 10 = \frac{1}{5} \times 20\pi = 4\pi \approx 12{,}6 \text{ cm}$

Vzorec na obsah výseče

Obsah výseče

\text{Obsah výseče} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2

θ = stredový uhol v stupňoch, r = polomer

Nájdi obsah výseče

Tá istá výseč: polomer 10 cm, uhol 72°.

$\text{Obsah} = \frac{72}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{5} \times 100\pi = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ cm}^2$

Nájdenie uhla z dĺžky oblúka

Ak poznáš dĺžku oblúka a polomer, upravíme vzorec:

$\theta = \frac{\text{Dĺžka oblúka} \times 360}{2\pi r}$

Tip

Polkruh je výseč so stredovým uhlom $\theta = 180°$ . Jeho oblúk tvorí presne polovicu obvodu kružnice.

Využitie v praxi

Prax: plocha stierača čelného skla

Čepeľ stierača je 55 cm dlhá a zametá uhol 120°. Aká plocha skla sa vyčistí?

$\text{Obsah} = \dfrac{120}{360} \times \pi \times 55^2 = \dfrac{1}{3} \times 3025\pi \approx 3168 \text{ cm}^2 \approx 0{,}317 \text{ m}^2$

Inžinieri to používajú pri návrhu čelného skla, aby overili, že stierač vyčistí dostatok zorného poľa vodiča.

Prax: pohyb minútovej ručičky hodín

Minútová ručička hodín je 12 cm dlhá. Za 20 minút opatrí uhol $\frac{20}{60} \times 360° = 120°$ .

Dĺžka oblúka: $\dfrac{120}{360} \times 2\pi \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 24\pi \approx 25{,}1 \text{ cm}$

Prax: plocha jedného plátku pizze

Pizza má polomer 15 cm a krájame ju na 8 rovnakých plátkov (každý pod uhlom 45°).

Obsah jedného plátku: $\dfrac{45}{360} \times \pi \times 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4 \text{ cm}^2$

Pizzeri to počítajú pri určovaní množstva cesta a rovnomernom rozložení surovín na každý plátok.

Tip

Kde vidíme výseče? Pohyb stierača, hodinové ručičky, krájky pizze, segmenty koláčových grafov, závlahové pivoty — to všetko sú príklady oblúkov a výsečí v praxi.

Reálny príklad: plocha stierarča

Čepeľ stieradča auta je 55 cm dlhá a zahrotuje uhol 120°. Akú plochu vyčistí?

$\text{Obsah} = \dfrac{120}{360} \times \pi \times 55^2 = \dfrac{1}{3} \times 3025\pi \approx 3168 \text{ cm}^2 = 0{,}317 \text{ m}^2$

Inžinieria používajú tento výpočet pri návrhu čelých sklí, aby skontrolovali, že stierač vyistí dostatok zo vodikovho zoraca.

Reálny príklad: pohyb hodinovéj ručičky

Minútová ručička hodiny má dĺžku 12 cm. Za 20 minút opatí uhol $\dfrac{20}{60} \times 360° = 120°$ .

Dĺžka oblúka: $\dfrac{120}{360} \times 2\pi \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 24\pi \approx 25{,}1 \text{ cm}$

Obsah výseče: $\dfrac{120}{360} \times \pi \times 12^2 = 48\pi \approx 150{,}8 \text{ cm}^2$

Reálny príklad: plátok pizze

Pizza má polomer 15 cm a rezanie na 8 rovnakých krájok (každý pod uhlom $45°$ ).

Dĺžka chrupky: $\dfrac{45}{360} \times 2\pi \times 15 = \dfrac{15\pi}{4} \approx 11{,}8 \text{ cm}$

Obsah jednej krájky: $\dfrac{45}{360} \times \pi \times 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4 \text{ cm}^2$

Tip

Kde vidíme výseče? Pohyb stieradča, hodinové ručičky, krájky pizze, segmenty koláčových grafov, zavlažovacia pivoty a plány sedištiš ve štadiónech — to všetko sú príklady výsečí a oblúkoch.

Cvičné príklady

Nájdi dĺžku oblúka výseče s polomerom 6 cm a uhlom 90°.

Zobraziť odpoveď

Oblúk = (90/360) × 2π × 6 = ¼ × 12π = 3π ≈ 9,4 cm

Nájdi obsah výseče s polomerom 5 cm a uhlom 120°.

Zobraziť odpoveď

Obsah = (120/360) × π × 25 = ⅓ × 25π ≈ 26,2 cm²