Obsah a obvod kružnice

Definície

Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré sú rovnako vzdialené od stredového bodu. Táto vzdialenosť je polomer $r$ .

Obsah kruhu

S = \pi r^2

r je polomer kružnice.

Obvod kružnice

o = 2\pi r = \pi d

Obvod kružnice sa tiež nazýva dĺžka kružnice.

Kružnica s polomerom 5 cm

$S = \pi \times 25 = 25\pi \approx 78{,}54 \text{ cm}^2$

$o = 2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm}$

Tip

Kde je to možné, ponechajte výsledky v tvare s π pre presnosť. Pre desatinné priblíženie použite $\pi \approx 3{,}14159$ .

Prax: porovnanie pizz

Malá pizza má priemer 24 cm ( $r = 12$ cm) a veľká má priemer 30 cm ( $r = 15$ cm).

Malá: $S = \pi \times 12^2 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^2$

Veľká: $S = \pi \times 15^2 = 225\pi \approx 707 \text{ cm}^2$

Veľká pizza je asi o 57 % väčšia ako malá — hoci vyzerá len o 25 % širšia. Znalosť obsahu kruhu pomáha posúdiť hodnotu za peniaze.

Prax: závlaha záhrady

Rotačný zavlažovač zavlažuje plochu s polomerom 5 m.

$S = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5 \text{ m}^2$

Záhradník zistí, koľko zavlažovačov je potrebných pre trávnik 20 m × 10 m (200 m²): aspoň 3 zavlažovače s čiastočným prekryvom.

Prax: okrúhle okno

Architekt navrhuje okrúhle okno s priemerom 0,8 m ( $r = 0{,}4$ m).

$S = \pi \times 0{,}4^2 = 0{,}16\pi \approx 0{,}50 \text{ m}^2$

Sklo sa predáva za štvorcový meter. Tento výpočet hovorí sklenárovi presne, koľko materiálu má objednať.

Tip

Kde vidíme kruhy? Mince, kolesá, hodiny, kanálové pokrývky, pizze, kruhové objazdy, šípkové terče, taniere a okrúhle okná sú všetky kruhovité. Vždy, keď potrebuješ obsah alebo obvod okrúhleho predmetu, tieto vzorce sa hodia.

Cvičné príklady

Nájdite obsah kruhu s polomerom 3 cm.

Zobraziť odpoveď

S = 9π ≈ 28,27 cm²

Kružnica má obvod 20π cm. Aký je jej polomer?

Zobraziť odpoveď

2πr = 20π → r = 10 cm

Okrúhly bazén má priemer 8 m. Akú plochu zaberá?

Zobraziť odpoveď

r = 4 m. S = π × 16 = 16π ≈ 50,3 m²