Stewdent.eu
▾

Doplnenie na úplný štvorec

Doplnenie na úplný štvorec prepíše kvadratický výraz ax² + bx + c v tvare a(x + p)² + q. Táto technika sa používa na riešenie kvadratických rovníc, hľadanie vrcholu paraboly a odvodenie kvadratického vzorca.

Posledná aktualizácia: 7. marca 2026

★★★★☆ Stupeň 4matematikaAlgebrakvadratickýúplný-štvorecvrchol3 min čítania

Nahlásiť chybu

Prečo dopĺňať na úplný štvorec?

Kvadratický vzorec vyriešia akúkoľvek kvadratickú rovnicu, ale doplnenie na úplný štvorec navyše:

  • Priamo odhalí vrchol (bod minima/maxima) paraboly
  • Rieši rovnice bez nutnosti rozkladu na súčin
  • Pomáha presne načrtnúť y=x2+bx+cy = x^2 + bx + c

Metóda pre x2+bx+cx^2 + bx + c (koeficient pri x2x^2 je 1)

  1. Koeficient pri xx vydelíme dvoma: p=b/2p = b/2
  2. Zapíšeme (x+p)2−p2+c(x + p)^2 - p^2 + c

Dopln na úplný štvorec: x² + 6x + 5

b=6b = 6, teda p=3p = 3

(x+3)2−9+5(x + 3)^2 - 9 + 5

=(x+3)2−4= (x + 3)^2 - 4

Overenie rozvinutím: (x+3)2−4=x2+6x+9−4=x2+6x+5(x+3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5 ✓

Riešenie doplnením na úplný štvorec

Vyriešte x² + 6x + 5 = 0

Z predchádzajúceho: (x+3)2−4=0(x + 3)^2 - 4 = 0

(x+3)2=4(x + 3)^2 = 4

x+3=±2x + 3 = \pm 2

x=−3+2=−1x = -3 + 2 = -1 \quad alebo x=−3−2=−5\quad x = -3 - 2 = -5

Odčítanie vrcholu paraboly

Tvar (x+p)2+q(x + p)^2 + q nám priamo hovorí, že minimálny bod paraboly je (−p,q)(-p, q).

Pre (x+3)2−4(x + 3)^2 - 4: vrchol je (−3,−4)(-3, -4).

Tip

Minimálna hodnota výrazu (x+p)2+q(x + p)^2 + q je qq, pretože štvorec je vždy ≥ 0. Vrchol leží v bode x=−px = -p.

Koeficient pri x2x^2 nie je 1

Najprv ho vytkneme:

2x2+8x+3=2(x2+4x)+3=2[(x+2)2−4]+3=2(x+2)2−52x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2[(x+2)^2 - 4] + 3 = 2(x+2)^2 - 5

Príklady z praxe

Prax: Maximálna výška hodenej lopty

Výška lopty je h=−4t2+16t+2h = -4t^2 + 16t + 2.

Doplnením: h=−4(t2−4t)+2=−4[(t−2)2−4]+2=−4(t−2)2+18h = -4(t^2 - 4t) + 2 = -4[(t-2)^2 - 4] + 2 = -4(t-2)^2 + 18.

Lopta dosiahne maximálnu výšku 18 m v čase t=2t = 2 sekundy.

Prax: Najvyšší bod oblúka mosta

Oblúk mosta opisuje y=−x2+8xy = -x^2 + 8x (v metroch). Doplnením:

y=−(x2−8x)=−[(x−4)2−16]=−(x−4)2+16y = -(x^2 - 8x) = -[(x-4)^2 - 16] = -(x-4)^2 + 16.

Oblúk dosahuje vrchol 16 m, priamo nad x=4x = 4 m. Inžinieri to využívajú na výpočet povolenej výšky vozidiel alebo lodí.

Prax: Ohnisková vzdialenosť satelitnej antény

Parabolická anténa sleduje krivku y=14x2y = \frac{1}{4}x^2. Tvar vrcholu ukazuje, že ohnisko leží v (0,1)(0, 1) — 1 m nad stredom antény.

Prijímač musí byť umiestnený presne tam, aby sa signál optimálne sústredil.

Cvičné príklady

Dopln na úplný štvorec: x² − 4x + 7.

Zobraziť odpoveď
p = −4/2 = −2. (x−2)² − 4 + 7 = (x−2)² + 3. Vrchol: (2, 3).

Vyriešte doplnením na úplný štvorec: x² − 4x + 3 = 0.

Zobraziť odpoveď
(x−2)² −4 + 3 = 0 → (x−2)² = 1 → x−2 = ±1 → x = 3 alebo x = 1.

Zapíš x² + 10x − 3 v tvare úplného štvorca a uveď minimálnu hodnotu.

Zobraziť odpoveď
(x+5)² − 25 − 3 = (x+5)² − 28. Minimálna hodnota je −28 (keď x = −5).