Kvadratický vzorec

Kvadratický vzorec rieši ľubovoľnú kvadratickú rovnicu ax² + bx + c = 0 výpočtom koreňov pomocou a, b a c.

Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica má tvar:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Vzorec dáva oba korene ľubovoľnej kvadratickej rovnice.

Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ určuje charakter koreňov:

Diskriminant	Korene
$\Delta > 0$	Dva rôzne reálne korene
$\Delta = 0$	Jeden dvojnásobný reálny koreň
$\Delta < 0$	Dva komplexne združené korene

Poznámka

Súčet koreňov: $x_1 + x_2 = -b/a$ , súčin koreňov: $x_1 \cdot x_2 = c/a$ (Vièteho vzťahy).

Riešte x² − 5x + 6 = 0

$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

$\Delta = 25 - 24 = 1$

$x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$

$x_1 = 3$ , $x_2 = 2$

Prepíšeme $ax^2 + bx + c$ do tvaru $a(x + h)^2 + k$ .

1
Vydeľte koeficientom a
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
2
Presuňte konštantu doprava
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3
Pridajte (b/2a)² na obe strany
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
4
Odmocnite
$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Prax: Kedy dopadne lopta?

Výška lopty v metroch je $h = -5t^2 + 20t$ .

Na nájdenie dopadu riešime $-5t^2 + 20t = 0$ , teda $t^2 - 4t = 0$ .

Kvadratickým vzorcom: $\Delta = 16$ , teda $t = \frac{4 \pm 4}{2}$ .

$t = 4$ s (dopad) a $t = 0$ (odhodenie). Lopta je vo vzduchu 4 sekundy.

Prax: Rozmery obdĺžnikového záhonu

Záhradník chce obdĺžnikový záhon s plochou 24 m² a obvodom 20 m. Nech je jedna strana $x$ .

Z obvodu: druhá strana je $10 - x$ . Plocha dáva $x(10 - x) = 24$ , teda $x^2 - 10x + 24 = 0$ .

$\Delta = 4$ , teda $x = \frac{10 \pm 2}{2}$ : Strany sú 6 m a 4 m.

Prax: Brzdná dráha auta

Brzdná dráha auta je $d = 0{,}05v^2 + 0{,}7v$ . Vodič musí zastaviť do 40 m.

Riešenie: $0{,}05v^2 + 0{,}7v - 40 = 0$ , po prenásobení 20: $v^2 + 14v - 800 = 0$ .

Z kvadratického vzorca vychádza $v \approx 22$ m/s (cca 79 km/h). Pri vyššej rýchlosti brzdná dráha nestačí.

Vyriešte x² + 4x − 5 = 0 kvadratickým vzorcom

Zobraziť odpoveď

Δ = 16 + 20 = 36. x = (−4 ± 6)/2. x₁ = 1, x₂ = −5

Nájdite diskriminant 2x² − 3x + 5 = 0. Koľko reálnych koreňov má rovnica?

Zobraziť odpoveď

Δ = 9 − 40 = −31 < 0. Žiadne reálne korene.

Vyriešte x² − 6x + 9 = 0

Zobraziť odpoveď

Δ = 0. Jeden dvojnásobný koreň: x = 3