Diskriminant

Definícia

Pre kvadratickú rovnicu $ax^2 + bx + c = 0$ je diskriminant:

\Delta = b^2 - 4ac

Diskriminant určuje charakter a počet koreňov.

$\Delta > 0$ : Dva rôzne reálne korene. Parabola pretína os x v dvoch bodoch.
$\Delta = 0$ : Práve jeden reálny koreň (dvojnásobný). Parabola sa dotýka osi x.
$\Delta < 0$ : Žiadne reálne korene. Parabola neprotína os x.

Tip

Bez výpočtu celého vzorca vám diskriminant povie, koľko riešení máte očakávať.

Klasifikujte korene: 3x² − 2x + 5 = 0

$\Delta = 4 - 60 = -56$

Keďže $\Delta < 0$ , rovnica nemá žiadne reálne korene.

Prax: Prekoná lopta stenu?

Lopta sleduje dráhu $h = -t^2 + 6t + 1$ . Dosiahne výšku $h = 10$ ?

$-t^2 + 6t + 1 = 10$ dáva $t^2 - 6t + 9 = 0$ .

$\Delta = 36 - 36 = 0$ . Lopta sa výšky 10 m práve dotkne — v čase $t = 3$ s.

Prax: Dosiahne firma bod zlomu?

Model zisku firmy je $Z = -2x^2 + 8x - 10$ (tisíc eur, $x$ = predané jednotky v stovkách).

Pre $Z = 0$ : $\Delta = 64 - 80 = -16 < 0$ .

Keďže $\Delta < 0$ , neexistuje reálne riešenie — firma s týmto cenovým modelom nikdy nedosiahne bod zlomu.

Prax: Rezonančné frekvencie obvodu

Obvod opisuje rovnica $L\omega^2 - R\omega + \frac{1}{C} = 0$ . Diskriminant $\Delta = R^2 - \frac{4L}{C}$ hovorí:

Pre x² − 4x + 4 = 0 vypočítajte Δ a klasifikujte korene

Zobraziť odpoveď

Δ = 0. Jeden dvojnásobný reálny koreň: x = 2

Pre x² − 4x + 3 = 0 vypočítajte Δ a klasifikujte korene

Zobraziť odpoveď

Δ = 4 > 0. Dva rôzne reálne korene.