Základy pravdepodobnosti

Čo je pravdepodobnosť?

Pravdepodobnosť hovorí, aké je niečo pravdepodobné. Je to číslo od 0 do 1 (alebo od 0 % do 100 %).

P(\text{jav}) = \dfrac{\text{počet priaznivých výsledkov}}{\text{celkový počet výsledkov}}

Pravdepodobnosť	Význam
0	Nemožné
0,5	Rovnako pravdepodobné / nepravdepodobné
1	Isté

Spravodlivé vs. nespravodlivé

Spravodlivá minca, kocka alebo kolotoč dáva každému výsledku rovnakú šancu.

Hádzanie spravodlivou kockou so 6 stranami

Celkový počet výsledkov: 6

P(padne 4) $= \dfrac{1}{6}$

P(padne párne číslo) $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

P(padne 7) $= 0$ (nemožné)

Doplnkové javy

Doplnkový jav predstavuje všetko, čo nie je daný jav.

P(\text{nie A}) = 1 - P(A)

Ťahanie červenej karty zo štandardného balíčka

P(červená) $= \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}$

P(nie červená) $= 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

Štatistická (experimentálna) pravdepodobnosť

P(\text{jav}) \approx \dfrac{\text{počet výskytov}}{\text{celkový počet pokusov}}

Minca bola hodená 100-krát a 58-krát padla hlava.

Experimentálna P(hlava) $= \dfrac{58}{100} = 0{,}58$

Teoretická pravdepodobnosť je 0,5. Čím viac pokusov, tým bližšie k 0,5.

Prax: Predpoveď počasia

Meteorologická stanica hlási P(dážď) = 0,4 na sobotu. Rodina plánuje výlet na Devín.

P(pekné počasie) = $1 - 0{,}4 = \mathbf{0{,}6}$ — teda 60 % šanca na bezproblémový výlet.

Prax: Lotéria Tipos

V jednoduchej lotérii taháš 1 lístok z 50 (1 výhernú). Pravdepodobnosť výhry:

$P(\text{výhra}) = \frac{1}{50} = 0{,}02 = \mathbf{2\,\%}$

Pravdepodobnosť prehry: $1 - 0{,}02 = 0{,}98 = 98\,\%$ .

Prax: Lekársky test

Test na vírus má 95 % spoľahlivosť. Ak je P(chorý) = 0,1 (10 % ľudí je chorých), lekár kombinuje tieto pravdepodobnosti pri interpretácii výsledku. Pochopenie pravdepodobnosti je kľúčové v medicíne.

Tip Kde to vidíme v praxi? Pravdepodobnosť sa uplatňuje v predpovediach počasia (30 % šanca dažďa), poisťovníctve (riziko nehody), medicíne (spoľahlivosť testov) aj v hrách. Každý deň sa rozhodujeme na základe šancí — aj keď si to neuvedomujeme.

Cvičné príklady

Vrece obsahuje 3 červené, 5 modré a 2 zelené guľôčky. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia modrej?

Zobraziť odpoveď

P(modrá) = 5/10 = 1/2.

P(dážď zajtra) = 0,3. Aká je pravdepodobnosť, že NEBUDE pršať?

Zobraziť odpoveď

P(bez dažďa) = 1 − 0,3 = 0,7.