Pomery a proporcie

Lekcia o porovnávaní veličín pomocou pomerov, zjednodušovaní pomerov, zostavovaní a riešení proporcií skríženým násobením a rozdeľovaní veličín v danom pomere.

Pomery

Pomer porovnáva dve veličiny rovnakého druhu. Možno ho zapísať tromi spôsobmi:

$3 \text{ ku } 5 \quad = \quad 3:5 \quad = \quad \frac{3}{5}$

Pomery sa zjednodušujú ako zlomky — delením NSD:

$12:8 = 3:2$

Poznámka Pomery musia porovnávať rovnaké jednotky. Ak treba, preveď: 30 cm : 1,2 m = 30 : 120 = 1 : 4.

Proporcie

Proporcia je tvrdenie, že dva pomery sú rovnaké:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Platí to, keď $a \times d = b \times c$ (skrížené násobenie).

Riešenie proporcií

1
Napíš proporciu
$\frac{5}{8} = \frac{x}{40}$
2
Skrížene násob
$8x = 5 \times 40 = 200$
3
Vyriešte
$x = 200 \div 8 = 25$

Rozdeľovanie v danom pomere

Rozdeľ 120 v pomere 3:5:

Celkový počet dielov = 8 → jeden diel = 15

$3 \times 15 = 45, \quad 5 \times 15 = 75$

Priama úmernosť

Ak je $y$ priamo úmerné $x$ : $y = kx$ (s rastom $x$ rastie $y$ ).

Nepriama úmernosť

Ak je $y$ nepriamo úmerné $x$ : $y = k/x$ (s rastom $x$ klesá $y$ ).

Auto prejde 150 km za 2 hodiny. Koľko prejde za 5 hodín (konštatantná rýchlosť)?

$\frac{150}{2} = \frac{d}{5}$

$d = \frac{150 \times 5}{2} = 375 \text{ km}$

Prax: Recept na tatárský šalát (škálovaný pre 6 ľudí)

Recept pre 4 porcie vyžaduje 300 g zemiakov a 120 g majonézy. Koľko treba pre 6 porcií?

$\frac{300}{4} = \frac{x}{6} \implies x = \frac{300 \times 6}{4} = 450\text{ g zemiakov}$

$\text{Majonéza: } \frac{120 \times 6}{4} = 180\text{ g}$

Prax: Mapa Tatier

Na turistickej mape je uvedená mierka 1 : 50 000 (teda pomer vzdialenosti na mape ku skutočnej). Nameraná vzdialenosť medzi chatami na mape je 4,6 cm.

$4{,}6\text{ cm} \times 50\,000 = 230\,000\text{ cm} = \mathbf{2{,}3\text{ km}}$

Prax: Miešanie farby na malú a veľkú miestnosť

Na maľovanie 12 m² treba 1 liter farby. Izba má 28 m². Koľko litrov kúpiš?

$\frac{1}{12} = \frac{x}{28} \implies x = \frac{28}{12} \approx 2{,}33\text{ l} \rightarrow \text{kúpiš 3 litre (zaokrúhlenie nahor)}$

Tip Kde to vidíme v praxi? Pomery sa každodenne objavujú v kuchyni (zvyšovanie/znižovanie receptov), pri jazdení (pomer paliva na 100 km) a v kartografii (mierka mapy). Keď zásoby alebo vzdialenosti rástú rovnako — ide o priamu úmernosť.

Cvičné príklady

Zjednodušte 45:30.

Zobraziť odpoveď

NSD = 15. Zjednodušené: 3:2.

Rozdeľte 200 v pomere 3:7.

Zobraziť odpoveď

Celkový počet dielov = 10. Jeden diel = 20. Časti: 60 a 140.

Riešte: 4/x = 6/15.

Zobraziť odpoveď

Skrížene: 60 = 6x → x = 10.