Gravitačná potenciálna energia — GPE = mgh

Gravitačná potenciálna energia (GPE) je energia uložená v objekte vďaka jeho výške nad zemou. Čím väčšia výška a hmotnosť, tým viac GPE má. Keď objekt padá, GPE sa premieňa na kinetickú energiu.

Čo je gravitačná potenciálna energia?

Gravitačná potenciálna energia (GPE) je energia uložená v objekte vďaka jeho polohe nad zemou (alebo nad iným referenčným miestom).

$GPE = mgh$

Symbol	Veličina	Jednotka
$GPE$	gravitačná potenciálna energia	Jouly (J)
$m$	hmotnosť	kg
$g$	tiaž. zrýchlenie (intenzita grav. poľa)	N/kg (na Zemi ≈ 10 N/kg)
$h$	výška nad referenčnou úrovňou	metre (m)

Výpočet GPE

Kniha s hmotnosťou 5 kg je na poličke vo výške 1,2 m nad podlahou. Vypočítaj jej GPE. (g = 10 N/kg)

$GPE = mgh = 5 \times 10 \times 1{,}2 = 60 \text{ J}$

GPE a kinetická energia

Keď objekt padá z výšky (bez odporu vzduchu), GPE sa úplne premení na KE:

$GPE_{\text{strata}} = KE_{\text{zisk}}$

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Padajúci objekt

Lopta s hmotnosťou 2 kg sa pustí z výšky 5 m. Aká je jej rýchlosť tesne pred dopadom? (g = 10 N/kg)

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$ $10 \times 5 = \frac{1}{2}v^2$ $v^2 = 100 \Rightarrow v = 10 \text{ m/s}$

Poznámka

GPE sa vždy meria voči zvolenej referenčnej úrovni (zvyčajne zem). Objekt vo výške 2 m nad zemou má menšiu GPE ako rovnaký objekt vo výške 5 m.

Prax: Zjazd na horskej dráhe

Vozík horskej dráhy s cestujúcimi má celkovú hmotnosť 600 kg. Zdvihne sa do výšky 40 m.

Uložená GPE: $GPE = 600 \times 10 \times 40 = 240\,000 \text{ J} = 240 \text{ kJ}$

V najnižšom bode (bez trenia) sa všetka GPE premení na KE: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{800} \approx 28 \text{ m/s}$ (asi 100 km/h).

Prax: Vodná elektráreň

Voda v priehrade je 80 m nad turbínami. Každú sekundu pretečie 500 kg vody.

GPE premenená za sekundu: $GPE = 500 \times 10 \times 80 = 400\,000 \text{ J} = 400 \text{ kJ}$

Táto energia poháňa turbíny a vyrába elektrinu. Čím vyššia priehrada, tým viac energie je dostupnej na každý kilogram vody.

Prax: Výťah stúpa nahor

Kabína výťahu s cestujúcimi (750 kg) stúpa o 30 m.

Minimálna potrebná energia: $GPE = 750 \times 10 \times 30 = 225\,000 \text{ J} = 225 \text{ kJ}$

Elektromotor musí dodať aspoň túto energiu, plus straty vplyvom trenia a hmotnosti lana.

Tip

Kde to vidíš v reálnom živote? Horské dráhy, vodné elektrárne, lyžiarske vleky a vodárenské veže — všetky využívajú výšku ako prirodzený zásobník energie.

Cvičné príklady

Vypočítaj GPE kameňa s hmotnosťou 3 kg vo výške 4 m. (g = 10 N/kg)

Zobraziť odpoveď

GPE = mgh = 3 × 10 × 4 = 120 J

Skala s hmotnosťou 10 kg sa kotúľa z útesu vysokého 20 m. Aká je maximálna KE na dne? (g = 10 N/kg)

Zobraziť odpoveď

KE = GPE = mgh = 10 × 10 × 20 = 2 000 J (bez odporu vzduchu)

Lopta s hmotnosťou 1 kg sa pustí z výšky 8 m. Aká je jej rýchlosť tesne pred dopadom? (g = 10 N/kg)

Zobraziť odpoveď

mgh = ½mv² → v² = 2gh = 2 × 10 × 8 = 160 → v = √160 ≈ 12,6 m/s