SOHCAHTOA — Hľadanie chýbajúcich strán

SOHCAHTOA je pamäťová pomôcka pre tri trigonometrické pomery v pravoúhlom trojuholníku. Používa sa na nájdenie chýbajúcej strany, keď poznáme uhol a jednu stranu.

Čo je SOHCAHTOA?

SOHCAHTOA je pamäťová pomôcka pre tri pomery, ktoré spájajú uhly a strany pravoúhlého trojuholníka.

Pomôcka	Pomer	Vzorec
SOH	Sínus	$\sin\theta = \dfrac{\text{Proťajšia}}{\text{Prepona}}$
CAH	Kosínus	$\cos\theta = \dfrac{\text{Prilehlá}}{\text{Prepona}}$
TOA	Tangens	$\tan\theta = \dfrac{\text{Proťajšia}}{\text{Prilehlá}}$

Označovanie strán trojuholníka

Strany vždy označuj vo vzťahu k uhlu, s ktorým pracuješ (nie k pravému uhlu):

Prepona — najdlhšia strana, vždy oproti 90° uhlu
Proťajšia — strana priamo oproti uhlu $\theta$
Prilehlá — strana vedľa uhla $\theta$ (nie prepona)

Použitie SOHCAHTOA na nájdenie chýbajúcej strany

Označ všetky strany (Prep, Prot, Pril) vo vzťahu k známemu uhlu.
Vyber pomer, ktorý obsahuje známu stranu AJ hľadanú stranu.
Dosaď do vzorca a vypočítaj.

Nájdenie proťajšej strany (pravidlo sínus)

Uhol = 30°, prepona = 10 cm. Nájdi proťajšiu stranu.

Poznáme Prep a chceme Prot → SOH: $\sin 30° = \frac{\text{Prot}}{10}$

$\text{Prot} = 10 \times \sin 30° = 10 \times 0{,}5 = 5 \text{ cm}$

Nájdenie prilehlej strany (pravidlo kosínus)

Uhol = 40°, prepona = 8 cm. Nájdi prilehlú stranu.

CAH: $\cos 40° = \frac{\text{Pril}}{8}$

$\text{Pril} = 8 \times \cos 40° \approx 8 \times 0{,}766 = 6{,}13 \text{ cm}$

Nájdenie prepony (sínus, prepona neznáma)

Uhol = 25°, proťajšia = 6 cm. Nájdi preponou.

$\sin 25° = \frac{6}{\text{Prep}}$

$\text{Prep} = \frac{6}{\sin 25°} \approx \frac{6}{0{,}423} \approx 14{,}2 \text{ cm}$

Tip

Ak je hľadaná strana v čitateli vzorca, tak násobíme; ak je v menovateli, delíme.

Využitie v praxi

Prax: geodézia — výška budovy

Geodet stojí 50 m od pätky budovy a meria uhol elevácie na vrchol ako 35°. Vzdialenosť 50 m je prilehlá strana; výška je proťajšia. Pomocou TOA:

$\tan 35° = \dfrac{\text{výška}}{50}$ → $\text{výška} = 50 \times \tan 35° \approx 35 \text{ m}$

Prax: návrh rampy pre invalidný vozík

Stavebný predpis hovorí, že rampa nesmie stúpať viac ako 1 m na 12 m horizontálnej vzdialenosti. Maximálny uhol rampy:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{1}{12}\right) \approx 4{,}8°$

Projektant overí pomocou SOHCAHTOA, že $\sin 4{,}8° \times 12 \approx 1$ m — predpis je splnený.

Prax: dĺžka krokvovníka strechy

Strecha stúpa 2,5 m na vodorovnom rozpätí 5 m. Dĺžka krokvovníka (prepony) sa nájde cez uhol:

$\tan\theta = \dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5$ → $\theta \approx 26{,}6°$

$\text{Prep} = \dfrac{2{,}5}{\sin 26{,}6°} \approx \dfrac{2{,}5}{0{,}447} \approx 5{,}6 \text{ m}$

Tip

Praktický postup: Najprv identifikuj, ktoré dve strany poznáš a ktorú hľadáš. Vyber správny pomer (SOH, CAH alebo TOA), uprav vzorec — a násob, ak je neznáma v čitateli, alebo deľ, ak je v menovateli.

Cvičné príklady

Nájdi proťajšiu stranu. Uhol = 50°, Prepona = 12 cm.

Zobraziť odpoveď

sin 50° = Prot/12 → Prot = 12 × sin 50° ≈ 12 × 0,766 ≈ 9,2 cm

Nájdi prilehlú stranu. Uhol = 60°, Prepona = 20 cm.

Zobraziť odpoveď

cos 60° = Pril/20 → Pril = 20 × 0,5 = 10 cm

Nájdi preponou. Uhol = 35°, Proťajšia = 9 cm.

Zobraziť odpoveď

sin 35° = 9/Prep → Prep = 9/sin 35° ≈ 9/0,574 ≈ 15,7 cm