Hľadanie uhlov pomocou trigonometrie

Ak poznáš dve strany pravoúhlého trojuholníka, môžeš použiť inverzné trigonometrické funkcie (arcsin, arccos, arctan) na nájdenie chýbajúceho uhla.

Pripomenutie: SOH CAH TOA

$\sin\theta = \frac{\text{Prot}}{\text{Prepona}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{Prilehlá}}{\text{Prepona}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{Prot}}{\text{Prilehlá}}$

Na nájdenie chýbajúceho uhla použijeme inverzné funkcie:

$\theta = \sin^{-1}\!\left(\frac{\text{Prot}}{\text{Prepona}}\right) \quad \theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{Prilehlá}}{\text{Prepona}}\right) \quad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{\text{Prot}}{\text{Prilehlá}}\right)$

Na kalkulačke stlač SHIFT (alebo 2nd) a potom sin/cos/tan.

Postup krok za krokom

Pomenuj strany: Prepona (oproti pravému uhlu), Proťajšia (oproti hľadanému uhlu), Prilehlá (vedľa hľadaného uhla, nie prepona).
Rozhodni sa, ktorý pomer použiješ — podľa toho, ktoré dve strany poznáš.
Vypočítaj zlomok, potom stlač $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ alebo $\tan^{-1}$ .
Zaokrúhli na požadovanú presnosť (zvyčajne 1 desatinné miesto alebo najbližší stupeň).

Použitie tan⁻¹ — sú zadané proťajšia a prilehlá

Pravoúhly trojuholník má proťajšiu stranu = 4 cm a prilehlú = 3 cm.

Poznáme Prot a Prilehlú → použijeme tan:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = \tan^{-1}(1{,}333) \approx 53{,}1°$

Použitie sin⁻¹ — sú zadané proťajšia a prepona

Prot = 5 cm, Prepona = 13 cm.

$\theta = \sin^{-1}\!\left(\frac{5}{13}\right) \approx \sin^{-1}(0{,}385) \approx 22{,}6°$

Upozornenie

Skontroluj, či je kalkulačka v režime DEG (stupne), nie RAD (radiány) — pokiaľ úloha nevyžaduje radiány.

Využitie v praxi

Prax: sklon strechy

Tesár zmeria, že strecha stúpa 2 m na horizontálnej vzdialenosti 5 m. Uhol sklonu je:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{2}{5}\right) = \tan^{-1}(0{,}4) \approx 21{,}8°$

Stavebné predpisy určujú minimálne a maximálne sklony — tento výpočet overí súlad s predpismi.

Prax: sklon lyžiarskej trate

Lyžiarska trať klesá 30 m zvisle na 100 m horizontálne. Uhol svahu:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{30}{100}\right) = \tan^{-1}(0{,}3) \approx 16{,}7°$

Podľa tohto uhla sa trate klasifikujú na zelené, modré, červené alebo čierne.

Prax: uhol kamery pri fotografovaní

Fotograf stojí 20 m od päty 15 m vysokého výsledkového panela. Uhol elevácie na vrchol panela:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{15}{20}\right) = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

Takto vie, o koľko stupňov musí nakloniť kameru nahor, aby správne zobrazil tabuľu.

Tip

Kedy použiť inverzné funkcie: Ak poznáš dve strany a hľadáš uhol, použi $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ alebo $\tan^{-1}$ — tieto funkcie „vrátia" trigonometrické pomery. Vždy skontroluj, či je kalkulačka v režime DEG (stupne).

Cvičné príklady

Pravoúhly trojuholník má Prot = 6 cm a Preponou = 10 cm. Nájdi uhol.

Zobraziť odpoveď

θ = sin⁻¹(6/10) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°

Prilehlá = 8 m, Prepona = 17 m. Nájdi uhol.

Zobraziť odpoveď

θ = cos⁻¹(8/17) = cos⁻¹(0,471) ≈ 61,9°

Prot = 7 cm, Prilehlá = 7 cm. Aký je uhol? (Zamysli sa ešte pred výpočtom.)

Zobraziť odpoveď

tan θ = 7/7 = 1, takže θ = tan⁻¹(1) = 45°. Rovnoramenný pravoúhly trojuholník má vždy dva uhly 45°.