Stredová súmernosť

Útvar má stredovú (otočnú) súmernosť, ak po otočení o menej ako 360° okolo pevného stredového bodu vyzerá rovnako ako pred otočením. Spoznáme rád otočnej súmernosti a špeciálny prípad stredovej súmernosti.

Čo je otočná (rotačná) súmernosť?

Útvar má otočnú súmernosť (alebo rotačnú súmernosť), keď ho možno otočiť okolo pevného stredového bodu o menej ako 360° a útvar vyzerá úplne rovnako ako pred otočením.

Pevný bod sa nazýva stred otáčania (alebo stred súmernosti).

Tip

Obkresli tvar na pauzovací papier, zapichni špendlík do stredu a otoč papier. Každá poloha, v ktorej obkreslený tvar dokonale prekryje originál, je poloha súmernosti.

Rád otočnej súmernosti

Rád otočnej súmernosti je počet, koľkokrát útvar počas jedného celého otočenia o 360° vyzerá zhodne s originálom.

Uhol otočenia

\text{uhol} = \dfrac{360°}{\text{rád}}

Vydel 360° rádom súmernosti, aby si dostal najmenší uhol, o ktorý sa útvar zobrazí sám na seba.

Tvar	Rád	Najmenší uhol
Kružnica	Nekonečný	Ľubovoľný uhol
Štvorec	4	90°
Rovnostranný trojuholník	3	120°
Obdĺžnik	2	180°
Pravidelný päťuholník	5	72°
Pravidelný šesťuholník	6	60°
Rôznoramenný trojuholník	1	360° (bez otočnej súmernosti)

Každý útvar má rád aspoň 1, pretože celé otočenie o 360° vždy vráti útvar do pôvodnej polohy.

Stredová súmernosť

Stredová súmernosť je špeciálny prípad otočnej súmernosti s rádom 2 — útvar vyzerá rovnako po otočení o presne 180°.

Pre každý bod $A$ na útvare existuje zodpovedajúci bod $A'$ na opačnej strane stredu $O$ v rovnakej vzdialenosti:

Pravidlo stredovej súmernosti

OA = OA' \quad \text{a} \quad A, O, A' \text{ ležia na jednej priamke}

Stred O je stred úsečky AA′. Každý bod a jeho obraz sú od O rovnako vzdialené, ale na opačných stranách.

Stredovú súmernosť majú: obdĺžniky, štvorce, rovnobežníky, kružnice, všetky pravidelné mnohouholníky s párnym počtom strán a písmená S, Z, N.

Konštrukcia obrazu pri stredovej súmernosti

1
Nakresli priamku z bodu cez stred
Začni v bode A, nakresli priamku cez stred O a pokračuj za O ďalej.
2
Odmeraj vzdialenosť OA
Pomocou pravítka alebo sieťového papiera zisti, ako ďaleko je A od O.
3
Vyznač A′ na opačnej strane
Umiestni A′ do rovnakej vzdialenosti od O na opačnej strane priamky.
4
Opakuj pre všetky kľúčové body
Urob totéž pre každý vrchol útvaru a potom spoj obrazové body v správnom poradí.

Má pravidelný šesťuholník otočnú súmernosť?

Áno. Pravidelný šesťuholník má otočnú súmernosť rádu 6.

Zobrazuje sa sám na seba po otočeniach o: 60°, 120°, 180°, 240°, 300° a 360°.

Keďže rád je 6 (čo zahŕňa 180°), šesťuholník má aj stredovú súmernosť.

Nájdenie obrazu bodu pri stredovej súmernosti

Stred súmernosti je $O = (0, 0)$ a bod $A = (3, -2)$ .

Obraz $A'$ nájdeme zmenou znamienka oboch súradníc:

$A' = (-3, 2)$

Overenie: $O$ je stred úsečky $AA'$ — stred bodov $(3, -2)$ a $(-3, 2)$ je $\left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (0, 0)$ . ✓

Prax: hracie karty

Štandardná hracia karta (napríklad šestka srdiečok) vyzerá rovnako po otočení o 180° — symboly sú čitateľné aj pre hráča naproti. Toto je stredová súmernosť využívaná v praxi.

Prax: koleso a snehové vločky

Koleso so 6 lúčmi má otočnú súmernosť rádu 6 — vyzerá rovnako každých 60°. Preto kolesá fungujú hladko — každá časť je vyvážená.

Snehová vločka má tiež otočnú súmernosť rádu 6. Všetky prírodné vločky sú šesťuholníkové vďaka štruktúre ľadových kryštálov.

Časté chyby

Počítanie celého otočenia o 360° ako osobitnej polohy — celý obrat vždy zobrazí každý útvar na seba a nepočíta sa osobitne.
Zamieňanie osovej a stredovej súmernosti — rovnobežník má stredovú súmernosť (rád 2), ale nemá osovú súmernosť.
Zabudnutie, že rád 1 znamená žiadnu otočnú súmernosť — ak sa útvar zhoduje iba po otočení o 360°, otočnú súmernosť nemá.
Umiestnenie obrazu na nesprávnu stranu stredu — A a A′ musia byť na opačných stranách O.

Cvičné príklady

Pravidelný päťuholník sa otáča okolo svojho stredu. Po koľkých stupňoch vyzerá po prvýkrát rovnako ako na začiatku?

Zobraziť odpoveď

360° ÷ 5 = 72°. Päťuholník vyzerá prvýkrát zhodne po otočení o 72°.

Bod A má súradnice (4, −2) a stred súmernosti je v počiatku O = (0, 0). Aké sú súradnice obrazu A′?

Zobraziť odpoveď

A′ = (−4, 2). Pri stredovej súmernosti cez počiatok sa obe súradnice zmenia na opačné.

Má obdĺžnik stredovú súmernosť? Vysvetli.

Zobraziť odpoveď

Áno. Obdĺžnik má otočnú súmernosť rádu 2 (zobrazí sa na seba po otočení o 180°), čo znamená, že má stredovú súmernosť. Stred súmernosti je priesečník jeho uhlopriečok.