Energieerhaltung

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. Die gesamte mechanische Energie (kinetische + potentielle) bleibt in einem abgeschlossenen System ohne Reibung konstant.

Energieerhaltungssatz

$E_{kin} + E_{pot} = \text{const.}$

$\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{const.}$

Energieerhaltung in der Mechanik

\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2

Gesamte mechanische Energie bleibt ohne Reibung konstant.

Warnung

In der Realität geht durch Reibung immer etwas Energie als Wärme verloren. Der Energieerhaltungssatz gilt streng für ideale, reibungsfreie Systeme.

Ein Ball wird aus einer Höhe von 20 m fallengelassen. Wie schnell ist er in 8 m Höhe? (g = 10 m/s²)

Energieerhaltung (Masse kürzt sich):

$gh_1 = \frac{1}{2}v^2 + gh_2$

$10 \times 20 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 8$

$200 - 80 = \frac{1}{2}v^2 \implies v = \sqrt{240} \approx 15{,}5 \text{ m/s}$

Praxisbezug: Skispringen

Ein 75-kg-Skispringer startet aus dem Stand am oberen Ende einer 80-m-Rampe (Reibung vernachlässigt).

Am Absprungpunkt: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 80} = \sqrt{1600} = 40 \text{ m/s}$ (144 km/h)

In der Praxis bremsen Reibung und Luftwiderstand den Springer ab — aber der Energieerhaltungssatz liefert die theoretische Maximalgeschwindigkeit.

Praxisbezug: Pendeluhr

Ein Pendelkörper wird aus 0,2 m Höhe über dem Tiefpunkt losgelassen (g = 10 m/s²).

Am Tiefpunkt ist die gesamte GPE in KE umgewandelt: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0{,}2} = 2 \text{ m/s}$

Der Körper schwingt auf der anderen Seite exakt wieder auf 0,2 m hoch (reibungsfreies Idealsystem). Reale Pendel verlieren langsam Höhe, weil Luftwiderstand mechanische Energie in Wärme umwandelt.

Praxisbezug: Achterbahn-Looping

Ein Achterbahnwagen startet aus 45 m Höhe und durchfährt einen Looping (Unterseite bei h = 0, Radius 10 m).

Geschwindigkeit am Boden: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = 30 \text{ m/s}$

Am oberen Punkt des Loopings (h = 20 m): $v = \sqrt{2 \times 10 \times 25} = \sqrt{500} \approx 22{,}4 \text{ m/s}$

Ingenieure nutzen den Energieerhaltungssatz, um sicherzustellen, dass der Wagen am höchsten Punkt noch schnell genug ist, um die Strecke nicht zu verlassen.

Tipp

Wo begegnest du das im Alltag? Achterbahnen, Schaukeln, Bungee-Springen und Skipisten — überall wandelt sich Energie zwischen kinetischer und potentieller Form um. Der Energieerhaltungssatz erlaubt Ingenieuren, sichere Geschwindigkeiten an jedem Punkt zu berechnen.

Übungsaufgaben

Ein Pendelstein wird in einer Höhe von 1,8 m losgelassen. Wie schnell ist er am tiefsten Punkt? (g = 10 m/s²)

Antwort anzeigen

mgh = ½mv² → v = √(2gh) = √(2×10×1,8) = √36 = 6 m/s