Sínus, kosínus a tangens

Tri základné trigonometrické pomery: sínus, kosínus a tangens v pravouhlom trojuholníku.

Trigonometria pravouhlého trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku s uhlom $\theta$ :

Pravouhlý trojuholník s uhlom θ, protiľahlou, priľahlou stranou a preponou

Trigonometrické pomery

\sin\theta = \dfrac{\text{prot.}}{\text{prep.}}, \quad \cos\theta = \dfrac{\text{priľ.}}{\text{prep.}}, \quad \tan\theta = \dfrac{\text{prot.}}{\text{priľ.}}

Základné identity

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad \text{(základná trigonometrická identita)}$

Tip

Pamätajte si: sínus = protiľahlá/prepona, kosínus = priľahlá/prepona, tangens = protiľahlá/priľahlá.

Hodnoty pre špeciálne uhly

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	nedefinovaný

Nájdite sin, cos, tan pre trojuholník 3-4-5 (uhol oproti strane 4)

Prepona = 5, protiľahlá = 4, priľahlá = 3.

$\sin\theta = 4/5 = 0{,}8$ , $\cos\theta = 3/5 = 0{,}6$ , $\tan\theta = 4/3 \approx 1{,}33$

Využitie v praxi

Prax: architektúra — výpočet výšky strechy

Architekt vie, že krokva strechy je dlhá 8 m a zviera uhol 30° s horizontálou. Zvislá výška strechy je:

$\text{výška} = 8 \times \sin 30° = 8 \times 0{,}5 = 4 \text{ m}$

Vodorovné rozpätie: $8 \times \cos 30° \approx 8 \times 0{,}866 = 6{,}93 \text{ m}$

Prax: navigácia — severná a východná zložka

Loď pluje 50 km na kurze 40° od severu. Severná zložka je $50 \times \cos 40° \approx 38{,}3$ km a východná zložka $50 \times \sin 40° \approx 32{,}1$ km — takto sa určuje presná poloha na námornej mape.

Prax: fyzika — zložky rýchlosti pri vrhu

Lopta je kopnutá rýchlosťou 20 m/s pod uhlom 60° nad zemou. Vodorovná a zvislá zložka rýchlosti sú:

$v_x = 20 \times \cos 60° = 10 \text{ m/s}$ (vodorovne)

$v_y = 20 \times \sin 60° \approx 17{,}3 \text{ m/s}$ (zvisle)

Tip

Kde sa to používa? Sínus a kosínus rozkladajú sily, rýchlosti alebo vzdialenosti na vodorovné a zvislé zložky — každodenne v techike, navigácii, architektúre a fyzike.

Cvičné príklady

V pravouhlom trojuholníku s preponou 10 a uhlom 30° nájdite protiľahlú stranu.

Zobraziť odpoveď

prot. = 10 × sin(30°) = 5

Vypočítajte tan(45°)

Zobraziť odpoveď

tan(45°) = 1