Pytagorova veta

Pytagorova veta popisuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka: a² + b² = c².

Znenie vety

V každom pravouhlom trojuholníku, kde $c$ je prepona (strana oproti pravému uhlu) a $a$ , $b$ sú odvesny:

Pytagorova veta

a^2 + b^2 = c^2

Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov oboch odvesien.

Nájdite preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami 3 a 4

$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Pytagorovské trojice

Bežné celočíselné riešenia $(a, b, c)$ : $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ .

Tip

Ľubovoľnú pytagorovskú trojicu môžeme vynásobiť konštantou: $(3,4,5) \times 2 = (6,8,10)$ tiež spĺňa $a^2 + b^2 = c^2$ .

Využitie v praxi

Prax: overenie pravého uhla na stavenisku

Stavebný robotník chce skontrolovať, či je roh základov presne 90°. Odmeria 3 m pozdĺž jednej steny a 4 m pozdĺž druhej. Ak uhlopriečka meria presne 5 m, uhol je správny.

Overenie: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓ — trojica 3-4-5 potvrdzuje pravý uhol.

Prax: uhlopriečka obrazovky televízora

Televízor je inzerovaný ako „55 palcový". To je uhlopriečka obrazovky. Pri pomere strán 16:9 a šírke 48 palcov je výška 27 palcov.

Uhlopriečka: $\sqrt{48^2 + 27^2} = \sqrt{2304 + 729} = \sqrt{3033} \approx 55{,}1$ palca — zodpovedá inzerovanej veľkosti.

Prax: priama vzdialenosť v GPS navigácii

Turista ide 6 km na východ a 8 km na sever. Priama vzdialenosť späť na štart je:

$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ km}$

GPS zariadenia používajú práve tento výpočet na zobrazenie priamych vzdialeností.

Tip

Rýchle overenie: Vždy, keď dve vzdialenosti zvieraju pravý uhol, Pytagorova veta dá najkratšiu spojnicu — užitočné v navigácii, stavebníctve aj pri výpočte uhlopriečok obrazoviek.

Cvičné príklady

Nájdite chýbajúcu odvesnu, ak prepona = 13 a jedna odvesna = 5.

Zobraziť odpoveď

b² = 169 − 25 = 144 → b = 12

Je trojuholník so stranami 6, 8, 10 pravouhlý?

Zobraziť odpoveď

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Áno, je pravouhlý.