Prehľad: objem a povrch telies

Referenčné karty pre objem a povrch všetkých základných geometrických telies.

Kocka

Objem

V = a^3

Povrch

S = 6a^2

Kváder

Objem

V = a \cdot b \cdot c

Povrch

S = 2(ab + ac + bc)

Valec

Objem

V = \pi r^2 h

Povrch

S = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Kužeľ

Objem

V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

Povrch

S = \pi r^2 + \pi r l

Gula

Objem

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Povrch

S = 4\pi r^2

Ihlan (kvadratický)

Objem

V = \tfrac{1}{3}a^2 h

pre štvorcovú základňu so stranou a

Povrch

S = a^2 + 2al

kde l je šikmá výška trojuholníkovej steny

Využitie v praxi

Prax: obal — koľko kartónu na cereálnu škatuľu?

Cereálna škatuľa (kváder) meria 30 cm × 8 cm × 20 cm. Povrch = množstvo kartónu:

$S = 2(30 \times 8 + 30 \times 20 + 8 \times 20) = 2(240 + 600 + 160) = 2\,000 \text{ cm}^2$

Objem = kapacita pre cereálie: $V = 30 \times 8 \times 20 = 4\,800 \text{ cm}^3$ .

Prax: architektúra — betón na valcové stĺpy

Budova potrebuje 12 betónových stĺpov (valcov) s polomerom 0,3 m a výškou 4 m.

Objem jedného stĺpa: $V = \pi \times 0{,}09 \times 4 \approx 1{,}13 \text{ m}^3$

Celkový betón: $12 \times 1{,}13 \approx 13{,}6 \text{ m}^3$ — asi 14 jázd autodomiesavača.

Prax: výroba — farba na guľové zásobníky plynu

Zariadenie má 6 guľových zásobníkov, každý s polomerom 5 m. Celkový povrch na natretie:

$S_{\text{jeden}} = 4\pi \times 25 = 100\pi \approx 314 \text{ m}^2$

Celkovo: $6 \times 314 = 1\,884 \text{ m}^2$ — potrebné množstvo pri objednávke priemyselnej farby.

Tip

Správny vzorec: Objem použij, keď niečo plníš, naliješ alebo skladuješ vo vnútri telesa. Povrch použij, keď niečo natieraš, bališ alebo pokrývaš z vonkajška.