Objem a povrch kužeľa

Kužeľ

Kužeľ má kruhovú základňu s polomerom $r$ a vrchol vo výške $h$ nad stredmi základne.

V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h

jedna tretina objemu valca s rovnakou základňou a výškou

S = \pi r^2 + \pi r l

základňa + plášť; l je šikmá výška

l = \sqrt{r^2 + h^2}

vypočíta sa Pytagorovou vetou

Kužeľ: r = 3 cm, h = 4 cm

Šikmá výška: $l = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Objem: $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3$

Povrch: $S = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ cm}^2$

Prax: zmrzlinový kornút — objem

Vaflový kornút má polomer 3 cm a výšku 12 cm. Koľko zmrzliny sa doň vojde?

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^3$

Výrobcovia zmrzliny využívajú tento výpočet na určenie veľkosti porcií a počtu kopčekov v štandardnom kornúte.

Prax: dopravný kužeľ — spotreba materiálu

Dopravný kužeľ má polomer podstavy 15 cm a šikmú výšku 45 cm. Plášťový povrch (množstvo plastu):

$S_{\text{plášť}} = \pi \times 15 \times 45 = 675\pi \approx 2\,120 \text{ cm}^2$

Cestní údržbári tento výpočet použijú na objednanie správneho množstva reflexnej fólie.

Prax: objem lievika v továrni

Priemyselný lievik má polomer podstavy 20 cm a výšku 30 cm. Jeho objem určuje maximálne množstvo kvapaliny, ktoré môže v danom okamihu pojať:

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 400 \times 30 = 4\,000\pi \approx 12\,566 \text{ cm}^3 \approx 12{,}6 \text{ litrov}$

Inžinieri to využívajú na dimenzovanie čerpadiel, ktoré zvládajú prietok cez lievik.

Tip

Pamätaj si: Kužeľ pojme presne jednu tretinu toho, čo by pojal valec s rovnakou základňou a výškou — ak poznáš objem valca, stačí vydieliť 3.

Kužeľ má polomer 6 cm a výšku 8 cm. Vypočítaj objem a povrch (použi π ≈ 3,14).

Zobraziť odpoveď

l = √(36+64) = 10 cm. V = ⅓ × 3,14 × 36 × 8 ≈ 301 cm³. S = 3,14×36 + 3,14×6×10 = 113,04 + 188,4 ≈ 301,4 cm².