Povrch a objem kocky

Kocka

Kocka je trojrozmerný tvar so šiestimi rovnakými štvorcovými stenami.

Objem kocky

V = a^3

Objem je tretia mocnina dĺžky hrany.

Povrch kocky

S = 6a^2

Kocka má 6 stien, každá so štvorcom s plochou a².

Kváder

Pre kváder s rozmermi $a \times b \times c$ :

Objem kvádra

V = a \cdot b \cdot c

Povrch kvádra

S = 2(ab + ac + bc)

Kocka s hranou 4 cm

$V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3$

$S = 6 \times 16 = 96 \text{ cm}^2$

Využitie v praxi

Prax: odhad kartónu na cereálnu škatuľu

Cereálna škatuľa meria 30 cm × 8 cm × 20 cm. Povrch nám povie, koľko kartónu potrebujeme:

$S = 2(30 \times 8 + 30 \times 20 + 8 \times 20) = 2(240 + 600 + 160) = 2\,000 \text{ cm}^2$

Objem nám povie, koľko cereálií sa doň vojde: $V = 30 \times 8 \times 20 = 4\,800 \text{ cm}^3$ .

Prax: výroba kociek

Hracia kocka má hranu 1,6 cm. Povrch určuje množstvo farby potrebnej na potiach:

$S = 6 \times 1{,}6^2 = 6 \times 2{,}56 = 15{,}36 \text{ cm}^2$

Pri výrobe 100 000 kociek potrebuje továreň farbu na $1\,536\,000 \text{ cm}^2$ — asi 154 m².

Prax: balenie darčeka

Štvorcová darčeková škatuľa má hranu 25 cm. Povrch dáva minimálne potrebné množstvo baliaceho papiera:

$S = 6 \times 25^2 = 6 \times 625 = 3\,750 \text{ cm}^2 = 0{,}375 \text{ m}^2$

V praxi sa počíta s 10–15 % navyše na prekryvy a záhyby.

Tip

Povrch = celková vonkajšia plocha (natieranie, balenie, etikety). Objem = vnútorný priestor (plnenie, skladovanie). Vždy si over, čo úloha požaduje.

Cvičné príklady

Nájdite objem a povrch kocky s hranou 3 m.

Zobraziť odpoveď

V = 27 m³, S = 6 × 9 = 54 m²

Kváder má rozmery 5 cm × 3 cm × 2 cm. Nájdite jeho objem a povrch.

Zobraziť odpoveď

V = 30 cm³, S = 2(15 + 10 + 6) = 62 cm²