Objem a povrch gule

Gula

Gula je teleso, v ktorom sú všetky body rovnako vzdialené od stredu. Táto vzdialenosť je polomer $r$ .

Vzorce

Objem gule

V = \dfrac{4}{3}\pi r^3

závisí od tretej mocniny polomeru

Povrch gule

S = 4\pi r^2

štyrikrát obsah kruhu s rovnakým polomerom

Gula s polomerom 3 cm

Objem: $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^3$

Povrch: $S = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^2$

Poznámka

Zaujímavosť: pre guľu s polomerom $r$ platí $V = \frac{S \cdot r}{3}$ .

Využitie v praxi

Prax: výroba futbalovej lopty

Štandardná futbalová lopta má obvod asi 69 cm, teda polomer $r = 69 / (2\pi) \approx 11{,}0$ cm.

Objem: $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 11^3 \approx 5\,575 \text{ cm}^3$

Výrobcovia to využívajú na kontrolu správneho tlaku vzduchu a výpočet spotreby gumy a kože.

Prax: guľový zásobník na plyn

Guľový zásobník na LPG má polomer 4 m. Jeho objem:

$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 64 \approx 268 \text{ m}^3$

To zodpovedá 268 000 litrom — inžinieri tento údaj využívajú pri plánovaní dopĺňania a bezpečnostných výpočtoch.

Prax: záhradný zavlažovací systém

Záhradný postrekovač pokrýva pologuľový priestor (pologuľa) s polomerom 3 m. Objem postrekovej zóny:

$V_{\text{pologuľa}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 18\pi \approx 56{,}5 \text{ m}^3$

Projektanti zavlažovania to počítajú, aby zaistili úplné pokrytie trávnika bez medzier alebo prekryvov.

Tip

Pologuľa: Pologuľa má objem $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ a povrch (iba zakrivená časť) $S = 2\pi r^2$ . Satelitné antény, kupoly a misky sú pribľižne pologuľové.

Cvičné príklady

Gula má polomer 6 cm. Vypočítaj objem a povrch (použi π ≈ 3,14).

Zobraziť odpoveď

V = 4/3 × 3,14 × 216 ≈ 904,3 cm³. S = 4 × 3,14 × 36 ≈ 452,2 cm².

Povrch gule je 100π cm². Aký je jej polomer?

Zobraziť odpoveď

4πr² = 100π → r² = 25 → r = 5 cm.