Sústava rovníc

Sústava rovníc je množina dvoch alebo viacerých rovníc s rovnakými premennými, ktoré riešime súčasne.

Čo je sústava rovníc?

Sústava lineárnych rovníc obsahuje dve alebo viac rovníc s rovnakými neznámymi:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Riešenie je usporiadaná dvojica $(x, y)$ , ktorá súčasne spĺňa všetky rovnice.

Metódy riešenia

Dosadzovacia metóda

1
Z jednoduchšej rovnice vyjadrite jednu premennú
Izolujte jednu premennú.
2
Dosaďte do druhej rovnice
Nahraďte izolovanú premennú v druhej rovnici.
3
Vyriešte vzniknutú rovnicu
Dostanete hodnotu jednej premennej.
4
Spätným dosadením nájdite druhú premennú
Dosaďte nájdenú hodnotu späť.

Sčítacia metóda (eliminácia)

1
Upravte koeficienty
Vynásobte rovnice tak, aby mali zhodné (alebo opačné) koeficienty pri jednej premennej.
2
Sčítajte alebo odčítajte rovnice
Eliminujte jednu premennú.
3
Vyriešte zostatok
Dostanete rovnicu v jednej premennej.
4
Nájdite druhú premennú
Spätne dosaďte.

Sústava: x + y = 5, 2x − y = 4

Sčítacia metóda:

Sčítame rovnice: $3x = 9 \implies x = 3$

Dosadíme: $3 + y = 5 \implies y = 2$

Riešenie: $(3, 2)$

Typy riešení

Typ	Význam	Geometrická interpretácia
Jedno riešenie	Priamky sa pretínajú v jednom bode	Sústavne nezávislé
Žiadne riešenie	Priamky sú rovnobežné	Nesústavné
Nekonečne veľa	Priamky sú totožné	Sústavne závislé

Využitie v praxi

Prax: porovnanie dvoch obchodov

Obchod A účtuje €5 za kus + €3 za dopravu; obchod B účtuje €3 za kus + €9 za dopravu. Bod rovnosti: $5x + 3 = 3x + 9 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ kusy. Pri viac ako 3 kusoch je obchod B lacnejší.

Prax: miešanie dvoch nápojov

Zmiešame 20% a 60% ovocný nápoj, aby sme dostali 400 ml 35% šťavy. Nech $a$ ml (20%) a $b$ ml (60%): $a + b = 400$ a $0{,}20a + 0{,}60b = 140$ . Riešenie: $a = 250$ ml a $b = 150$ ml.

Prax: porovnanie elektrikárov

Elektrikár A: €40 výjazd + €20/h; elektrikár B: €10 výjazd + €35/h. Rovnaká cena pri: $40 + 20h = 10 + 35h \implies 15h = 30 \implies h = 2$ hodiny. Pre zákazky dlhšie ako 2 hodiny je elektrikár A lacnejší.

Tip

Kde to vidíte? Porovnávanie mobilných taríf, miešanie roztokov v chémii, výpočet bodu zlomu v podnikaní, porovnávanie cenových ponúk rôznych firiem.

Cvičné príklady

Vyriešte: x + y = 7 a x − y = 3

Zobraziť odpoveď

Sčítame: 2x = 10 → x = 5. Dosadíme: 5 + y = 7 → y = 2. Riešenie: (5, 2)

Vyriešte dosadením: y = 2x a x + y = 9

Zobraziť odpoveď

Dosadíme: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3, y = 6. Riešenie: (3, 6)