Lineárne rovnice

Lineárna rovnica je algebraická rovnica, kde každý člen je buď konštanta alebo premenná v prvej mocnine.

Čo je lineárna rovnica?

Lineárna rovnica v jednej premennej má tvar:

$ax + b = 0$

kde $a \neq 0$ . Riešenie pre $x$ :

$x = -\frac{b}{a}$

Základný tvar

ax + b = 0 \implies x = -\dfrac{b}{a}

kde a ≠ 0. Riešenie je jednoznačné.

Postup riešenia

1
Zjednodušte obe strany
Rozviňte zátvorky a zoskupte podobné členy na každej strane rovnice.
2
Presuňte premenné na jednu stranu
Odčítaním alebo sčítaním presuňte všetky členy s premennou na ľavú stranu.
3
Izolujte premennú
Vydeľte obe strany koeficientom premennej.
4
Skontrolujte riešenie
Dosaďte výsledok späť do pôvodnej rovnice.

Riešenie: 3x + 7 = 19

Zadané: $3x + 7 = 19$

Krok 1: Od oboch strán odčítame 7: $3x = 12$

Krok 2: Obe strany vydelíme 3: $x = 4$

Overenie: $3(4) + 7 = 19$ ✓

Lineárna rovnica v dvoch premenných

$ax + by = c$

Toto je rovnica priamky. Smernicový tvar:

$y = mx + b$

kde $m$ je smernica a $b$ je úsek na osi y.

Vzorec pre smernicu

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Smernica m meria rýchlosť zmeny: zvislá zmena ku vodorovnej zmene.

Tip

Vždy overte riešenie dosadením späť do pôvodnej rovnice.

Využitie v praxi

Prax: cena taxi

Taxi účtuje základný poplatok €2,50 plus €1,20 za km. Cesta stojí celkovo €10,30. Aká dlhá bola cesta? Nech $x$ = vzdialenosť v km: $1{,}20x + 2{,}50 = 10{,}30 \implies 1{,}20x = 7{,}80 \implies x = 6{,}5$ km.

Prax: účet za mobil

Mobilný tarif stojí €8 mesačne plus €0,05 za minútu hovoru. Minulomesačný účet bol €18. Koľko minút bolo využitých? Nech $m$ = minúty: $0{,}05m + 8 = 18 \implies 0{,}05m = 10 \implies m = 200$ minút.

Prax: úprava receptu

Recept na 4 osoby potrebuje $x$ gramov ryže. Pre 7 osôb treba celkom 630 g. Rovnica $\frac{7}{4}x = 630$ dáva $x = 360$ g — množstvo pre pôvodnú 4-osobovú verziu.

Tip

Kde to vidíte? Doklady za taxi, účty za elektrinu a telefón, aplikácie na škálovanie receptov, prepočty mien.

Cvičné príklady

Vyriešte: 5x − 3 = 17

Zobraziť odpoveď

5x = 20, teda x = 4

Vyriešte: 2(x + 4) = 14

Zobraziť odpoveď

2x + 8 = 14 → 2x = 6 → x = 3

Nájdite smernicu priamky prechádzajúcej cez (1, 2) a (3, 8)

Zobraziť odpoveď

m = (8 − 2)/(3 − 1) = 6/2 = 3