Základy trigonometrie – pochopenie trojuholníkov

Naučte sa, ako pomocou sínusu, kosínusu a tangensu nájsť neznáme strany a uhly v pravouhlých trojuholníkoch.

Prečo trigonometria?

Trigonometria nám umožňuje nájsť neznáme strany alebo uhly v pravouhlých trojuholníkoch bez priameho merania.

Tri pomery

V pravouhlom trojuholníku s uhlom $\theta$ :

$\sin\theta = \frac{\text{protiľahlá}}{\text{prepona}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{priľahlá}}{\text{prepona}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{protiľahlá}}{\text{priľahlá}}$

Tip

Pamätka: sín = prot/prep, kos = priľ/prep, tg = prot/priľ

Hľadanie chýbajúcej strany

Ak poznáme jeden uhol (iný ako pravý) a jednu stranu, môžeme nájsť ostatné.

1
Označte strany
Identifikujte protiľahlú, priľahlú a preponu k vášmu uhlu.
2
Vyberte správny pomer
Ktoré dve strany sú zapojené? Podľa toho vyberte sin, cos alebo tan.
3
Zostavte rovnicu a vyriešte
Upravte rovnicu na výpočet neznámej strany.

Pravouhlý trojuholník: uhol 40°, prepona 10 cm. Nájdite protiľahlú stranu.

$\sin 40° = \text{prot.}/10$

$\text{prot.} = 10 \times 0{,}643 \approx 6{,}43 \text{ cm}$

Hľadanie neznámeho uhla

Použite inverzné funkcie: $\theta = \arcsin(x)$ , $\arccos(x)$ , alebo $\arctan(x)$ .

Protiľahlá = 5, priľahlá = 12. Nájdite uhol.

$\tan\theta = 5/12$

$\theta = \arctan(5/12) \approx 22{,}6°$

Prax: Výška stromov v lese

Lesník stojí 20 m od borovice a meria uhol sklonu k vrcholku: 38°. Aká je výška stromčeka (od úrovne očí, ktoré sú 1,7 m)?

$\tan 38° = \frac{h}{20} \implies h = 20 \times 0{,}781 = 15{,}6\text{ m}$

Celková výška: $15{,}6 + 1{,}7 \approx \mathbf{17{,}3\text{ m}}$

Prax: Sklon lanovky na Lomnický štít

Lanovka stúpa na horizontálnu vzdialenosť 2 500 m a výškový rozdiel je 1 400 m. Uhol stúpania:

$\tan\theta = \frac{1\,400}{2\,500} = 0{,}56 \implies \theta = \arctan(0{,}56) \approx \mathbf{29{,}3°}$

Tip Kde to vidíme v praxi? Trigonometria je základom geodézie (meranie terénu), stavebníctva (sklony striech, rampy), navigácie (kurzovanie lodí a lietadiel), fyziky (šikmý vrh) a počítačovej grafiky (3D modely). Slovo „trigonometria" doslova znamená „meranie trojuholníkov".

Cvičné príklady

Trojuholník: prepona = 15, uhol = 30°. Nájdite priľahlú stranu.

Zobraziť odpoveď

priľ. = 15 cos(30°) ≈ 13,0

Protiľahlá = 3, prepona = 5. Nájdite uhol.

Zobraziť odpoveď

θ = arcsin(0,6) ≈ 36,9°

Vypočítajte tan(60°)

Zobraziť odpoveď

tan(60°) = √3 ≈ 1,732