Obsah zložených útvarov

Zložené (kompozitné) tvary možno rozložiť na jednoduché obdĺžniky, trojuholníky a kruhy. Ich obsah sa vypočíta sčítaním alebo odčítaním obsahov jednotlivých častí.

Prehľad: Základné vzorce pre obsah

Obdĺžnik

S = a \times b

a = dĺžka, b = šírka.

Trojuholník

S = \frac{1}{2} \times a \times v

a = základňa, v = výška (kolmá).

Kruh

S = \pi r^2

r = polomer, π ≈ 3,14159.

Postup: Rozlož a sčítaj

Rozlož tvar na jednoduchšie časti, vypočítaj každú zvlášť a sčítaj ich.

1
Nakresli deliace čiary
Rozdeľ útvar na obdĺžniky, trojuholníky alebo polkruhy.
2
Označ všetky rozmery
Doplň chýbajúce dĺžky z daných hodnôt.
3
Vypočítaj obsah každej časti
Použi správny vzorec pre každý podtvar.
4
Sčítaj časti
Celkový obsah = súčet obsahov všetkých častí.

Postup: Odčítaj

Niekedy je jednoduchšie vypočítať obsah väčšieho jednoduchého tvaru a odčítať vyrezané časti.

$S_{\text{zložený}} = S_{\text{veľký}} - S_{\text{výrez}}$

Príklad: Tvar L

Miestnosť tvaru L rozdelíme na dva obdĺžniky:

Horná časť: 4 m × 2 m = 8 m²
Dolná časť: 6 m × 3 m = 18 m²
Celkom: 26 m²

Príklad: Kruh vo vnútri štvorca

Štvorec so stranou 10 cm, z ktorého bol vyrezaný kruh s polomerom 4 cm:

$S = 10^2 - \pi \times 4^2 = 100 - 50{,}27 \approx 49{,}73 \text{ cm}^2$

Tip Najprv načrtnite tvar, označte všetky rozmery a identifikujte jednoduché podtvary.

Nájdi obsah tvaru — obdĺžnik 8 cm × 5 cm s vyrezaným trojuholníkovým zárezom so základňou 4 cm a výškou 3 cm.

$S = 8 \times 5 - \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 40 - 6 = 34 \text{ cm}^2$

Prax: Obklady kúpeľne tvaru L

Kúpeľňa má tvar L: väčšia časť 4 m × 3 m, menší výstupok 2 m × 1,5 m. Koľko m² obkladov kúpiš?

$S = 4 \times 3 + 2 \times 1{,}5 = 12 + 3 = \mathbf{15\text{ m}^2}$

Obklady kupuješ s 10 % rezervou: $15 \times 1{,}10 = 16{,}5\text{ m}^2$ → zaokrúhliš nahor.

Prax: Trávnik s kruhovým záhonom

Záhrada je obdĺžnik 10 m × 8 m, v strede je kruhový záhon s polomerom 2 m. Akú plochu trávnika treba kosiť?

$S = 10 \times 8 - \pi \times 2^2 = 80 - 4\pi \approx 80 - 12{,}57 = \mathbf{67{,}43\text{ m}^2}$

Tip Kde to vidíme v praxi? Zložené plochy riešia architekti (podlahy, strechy), záhradníci (trávniky), stavební inžinieri (steny s otvormi pre okná) aj grafici (tlačové plochy). Postup „rozlož a sčítaj" alebo „odčítaj výrez" platí všade.

Cvičné príklady

Bežecká dráha: obdĺžnik 100 m × 60 m s polkruhmi na kratších stranách (polomer 30 m). Nájdi celkový obsah.

Zobraziť odpoveď

Obdĺžnik: 6 000 m². Dva polkruhy = plný kruh: π×30² ≈ 2 827 m². Celkom ≈ 8 827 m².

Tvar L: vonkajší obdĺžnik 10×8, vnútorný obdĺžnik 6×5 odstránený vpravo hore. Nájdi obsah.

Zobraziť odpoveď

10×8 − 6×5 = 80 − 30 = 50 štvorcových jednotiek.