Geometrické transformácie

Naučte sa štyri základné geometrické transformácie — posunutie, osová súmernosť, otočenie a zväčšenie — a ako ich zakresliť do súradnicovej sústavy.

Čo sú geometrické transformácie?

Transformácia je pohyb alebo zmena tvaru v rovine. Výsledný útvar (obraz) má rovnaký tvar a veľkosť ako pôvodný útvar (vzor) — okrem zväčšenia, kde sa veľkosť mení.

1. Posunutie (translácia)

Posunutie posunie každý bod útvaru o rovnaký vektor (smer a vzdialenosť).

Zápis: $(x, y) \rightarrow (x + a, y + b)$

Príklad: Posunutie o vektor $(3, -2)$ :

Bod $A(1, 4) \rightarrow A'(4, 2)$
Bod $B(2, 1) \rightarrow B'(5, -1)$

Tvar, veľkosť a orientácia sa nemenia.

2. Osová súmernosť (reflexia)

Útvar sa „odrazí" od osi súmernosti — ako v zrkadle.

Osi súmernosti:

Os $x$ : $(x, y) \rightarrow (x, -y)$
Os $y$ : $(x, y) \rightarrow (-x, y)$
Priamka $y = x$ : $(x, y) \rightarrow (y, x)$

Poznámka

Pri osovej súmernosti sa mení orientácia útvaru (pôvodné písmo sa stane zrkadlovým obrazom).

3. Otočenie (rotácia)

Útvar sa otočí okolo určitého strediska o daný uhol.

Otočenie o 90° v smere hodinových ručičiek okolo počiatku: $(x, y) \rightarrow (y, -x)$

Otočenie o 180° okolo počiatku: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$

Otočenie o 90° proti smeru hodinových ručičiek: $(x, y) \rightarrow (-y, x)$

4. Zväčšenie (dilatácia)

Zväčšenie zvažuje útvar z daného strediska o koeficient $k$ .

$\text{Vzdialenosť od strediska} \times k = \text{Nová vzdialenosť}$

Ak $k > 1$ → útvar je väčší. Ak $0 < k < 1$ → útvar je menší.

Odzrkadli trojuholník s vrcholmi A(1,2), B(3,4), C(5,1) cez os y

Aplikujeme pravidlo $(x,y) \rightarrow (-x, y)$ :

$A(1,2) \rightarrow A'(-1,2)$
$B(3,4) \rightarrow B'(-3,4)$
$C(5,1) \rightarrow C'(-5,1)$

Prax: Zrkadlová symetria v logu

Logá mnohých firiem (napr. Audi, BMW) sú navrhnuté s osovou symetriou — pri osovej súmernosti cez zvislú os sa pravá strana stane ľavou a naopak. Grafici používajú reflexiu, aby rýchlo vytvorili symetrickú kópiu tvarua.

Prax: Pohyb figúrky v doskovej hre

V šachovej hre sa veža pohybuje vodorovne alebo zvisle — to je posunutie (translácia) o vektor $(n, 0)$ alebo $(0, n)$ . Strelec sa pohybuje po uhlopriečke — posunutie o $(n, n)$ . Matematika transformácií opisuje šachový pohyb presne.

Tip Kde to vidíme v praxi? Transformácie sú základom počítačovej grafiky, animácie, architektúry a dizajnu. Každý pohyb postavičky v počítačovej hre, otočenie loga alebo zväčšenie mapy je výpočet transformácie za zlomok sekundy.

Cvičné príklady

Posuň bod P(3, −1) o vektor (−2, 4).

Zobraziť odpoveď

P'(3+(−2), −1+4) = P'(1, 3).

Odraz bod Q(4, 2) cez os x.

Zobraziť odpoveď

Q'(4, −2) — zmeníme znamienko y.

Otoč bod R(2, 3) o 180° okolo počiatku.

Zobraziť odpoveď

R'(−2, −3).