Siete 3D telies

Naučte sa, čo je sieť 3D telesa, ako ju rozvinúť a ako ju využiť na výpočet povrchu telies.

Čo je sieť telesa?

Sieť (alebo rozvinutý plán) 3D telesa je rozkres jeho plôch rozložených do roviny tak, aby sa dali poskladať do telesa. Je to akoby sme kartónovú škatuľu rozstrihali a rozložili na stôl.

Sieť je užitočná na:

Pochopenie, koľko plôch teleso má
Výpočet povrchu — celkovej plochy všetkých stien

Sieť kocky

Kocka má 6 rovnakých štvorcových stien. Jej sieť vyzerá ako 6 štvorcov usporiadaných do „kríža" alebo iného platného vzoru.

$\text{Povrch kocky} = 6 \times a^2$

kde $a$ je dĺžka hrany.

Poznámka

Existuje viac druhov siete kocky — až 11 rôznych usporiadaní! Nie každé usporiadanie 6 štvorcov však tvorí platnú sieť.

Sieť kvádra (obdĺžnikového hranola)

Kváder má 6 stien — 3 páry zhodných obdĺžnikov (dno/vrch, predok/zadok, ľavá/pravá).

$\text{Povrch kvádra} = 2(ab + bc + ac)$

kde $a$ , $b$ , $c$ sú rozmery.

Príklad: Kváder 4 cm × 3 cm × 2 cm $S = 2(4 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 2) = 2(12 + 6 + 8) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm}^2$

Sieť valca

Valec má:

2 kruhy (dno a veko) s polomerom $r$
1 obdĺžnik (plášť) so šírkou $2\pi r$ a výškou $h$

$\text{Povrch} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Sieť ihlana (štvorca)

Štvorstranný ihlan má:

1 štvorec (základňa)
4 rovnoramenné trojuholníky (bočné steny)

Praktické využitie

Siete sa využívajú pri navrhovaní obalov, krabíc a obálok. Výrobca kartónových škatúľ potrebuje vedieť, akú plochu kartónu spotrebuje.

Vypočítaj povrch kvádra 5 cm × 3 cm × 2 cm

$S = 2(5 \times 3 + 3 \times 2 + 5 \times 2) = 2(15 + 6 + 10) = 2 \times 31 = 62 \text{ cm}^2$

Prax: Výroba kartónovej škatule

Výrobca krabíc na pizzu potrebuje vedieť, koľko kartónu spotrebuje na každú škatuľu. Škatuľa 30 cm × 30 cm × 5 cm:

$S = 2(30 \times 30 + 30 \times 5 + 30 \times 5) = 2(900 + 150 + 150) = 2 \times 1\,200 = \mathbf{2\,400\text{ cm}^2}$

Prax: Maľovanie stien v izbe

Izba 4 m × 3 m × 2,5 m (výška). Celkový povrch stien (bez podlahy a stropu, bez okien):

$S_{\text{steny}} = 2(4 \times 2{,}5 + 3 \times 2{,}5) = 2(10 + 7{,}5) = 2 \times 17{,}5 = \mathbf{35\text{ m}^2}$

Maliar odčíta plochu okien a dverí, aby kúpil správne množstvo farby.

Tip Kde to vidíme v praxi? Siete a povrchy telies sú základom obalu (výrobcovia kartónov, plechoviek, turieb), stavebníctva (nákup obkladov, farby) a aj dizajnu obalov produktov. Každý kartónový obal v supermarkete sa začal ako plocha rozvinutej siete.

Cvičné príklady

Koľko stien má kváder?

Zobraziť odpoveď

6 stien (3 páry zhodných obdĺžnikov).

Vypočítaj povrch kocky s hranou 4 cm.

Zobraziť odpoveď

6 × 4² = 6 × 16 = 96 cm².

Kváder má rozmery 6 × 4 × 3 cm. Vypočítaj jeho povrch.

Zobraziť odpoveď

2(6×4 + 4×3 + 6×3) = 2(24+12+18) = 2×54 = 108 cm².