Číselné vzory a postupnosti

Číselné vzory sa riadia pravidlami. Táto lekcia pokrýva aritmetické postupnosti (sčítanie/odčítanie konštanty), geometrické postupnosti (násobenie konštantou) a hľadanie chýbajúcich členov.

Čo je postupnosť?

Postupnosť je usporiadaný zoznam čísel riadiacich sa pravidlom. Každé číslo sa nazýva člen.

$2, 5, 8, 11, 14, \ldots$

Aritmetické postupnosti

V aritmetickej postupnosti sa vždy pripočíta (alebo odčíta) rovnaká hodnota — spoločný rozdiel $d$ .

$d = \text{člen}_{n+1} - \text{člen}_n$

Príklad: 3, 7, 11, 15, 19 → $d = 4$

n-ty člen — aritmetická

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

a₁ = prvý člen, d = spoločný rozdiel, n = poradové číslo člena.

Geometrické postupnosti

V geometrickej postupnosti sa každý člen vynásobí rovnakou hodnotou — kvocientom $q$ .

$q = \frac{\text{člen}_{n+1}}{\text{člen}_n}$

Príklad: 2, 6, 18, 54 → $q = 3$

Iné vzory

Druhé mocniny: 1, 4, 9, 16, 25 … ( $n^2$ )
Trojuholníkové čísla: 1, 3, 6, 10, 15 … ( $\frac{n(n+1)}{2}$ )
Fibonacciho postupnosť: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … (každý člen = súčet dvoch predchádzajúcich)

Tip Na zistenie vzoru najprv skontroluj rozdiely po sebe idúcich členov. Ak sú konštantné → aritmetická. Ak sú konštantné podiely → geometrická.

1
Nájdi rozdiely
$5-2=3, 8-5=3, 11-8=3$ → aritmetická, $d=3$
2
Použi vzorec
$a_n = 2 + (n-1) \times 3$
3
Nájdi 10. člen
$a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29$

Nájdi 8. člen postupnosti 5, 10, 20, 40 ...

$q = 2$ (geometrická), $a_1 = 5$

$a_8 = 5 \times 2^7 = 5 \times 128 = 640$

Prax: Splácanie pôžičky (aritmetická postupnosť)

Lucie každý mesiac uloží o 10 € viac ako predchádzajúci mesiac. V januári uloží 50 €. Koľko uloží v decembri (12. mesiac)?

$a_1 = 50$ , $d = 10$ : $a_{12} = 50 + 11 \times 10 = \mathbf{160\text{ EUR}}$

Prax: Šírenie správy v sociálnych sieťach (geometrická postupnosť)

Každý človek zdieľa príspevok 3 ďalším. V 1. kole 1 osoba, v 2. kole 3, v 3. kole 9... Po 6 kolách:

$a_6 = 1 \times 3^5 = 3^5 = \mathbf{243\text{ ľudí}}$

Geometrický rast vysvetľuje, prečo sa správy šíria „virálne".

Tip Kde to vidíme v praxi? Aritmetické postupnosti opisujú pravidelné úspory alebo splátky. Geometrické postupnosti sú základom úrokového sporenia, rastu populácie, radioaktívneho rozpadu aj šírenia vírusov. Pochopenie vzoru umožňuje predpovedať budúcnosť.

Cvičné príklady

Aký je 15. člen aritmetickej postupnosti 4, 7, 10, 13, ...?

Zobraziť odpoveď

a₁=4, d=3. a₁₅ = 4 + 14×3 = 4 + 42 = 46.

Nájdi chýbajúci člen: 3, __, 27, 81.

Zobraziť odpoveď

q = 3. Chýbajúci člen = 9.

Je 200 členom postupnosti 5, 10, 15, 20, ...?

Zobraziť odpoveď

aₙ = 5n. 5n = 200 → n = 40. Áno, 40. člen.