Prvočísla a rozklad na prvočísla

Prvočíslo má práve dva deliteľov — 1 a seba samého. Každé zložené číslo možno jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel (prvočíselný rozklad).

Prvočísla a zložené čísla

Prvočíslo: práve 2 delitele — 1 a ono samo. Príklady: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Zložené číslo: viac ako 2 delitele. Príklady: 4, 6, 8, 9, 10, 12…
Špeciálny prípad: 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo.

Poznámka 2 je jediné párne prvočíslo. Všetky ostatné párne čísla sú zložené (deliteľné číslom 2).

Prvočíselný rozklad

Každé zložené číslo možno rozložiť na súčin prvočísel — jeho prvočíselný rozklad.

Metóda: Strom faktorov

$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

Metóda: Postupné delenie

Opakovane deľ najmenším prvočíslom, ktoré ho delí.

Využitie prvočíselného rozkladu

NSD (Najväčší spoločný deliteľ) — vezmi najnižšiu mocninu každého spoločného prvočísla:

$\text{NSD}(36, 48): \quad 36 = 2^2 \cdot 3^2, \quad 48 = 2^4 \cdot 3$

$\text{NSD} = 2^2 \cdot 3 = 12$

NSN (Najmenší spoločný násobok) — vezmi najvyššiu mocninu každého prvočísla:

$\text{NSN}(36, 48) = 2^4 \cdot 3^2 = 144$

1
Napíš číslo
120
2
Deľ číslom 2
120 ÷ 2 = 60 → 60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15
3
Deľ číslom 3
15 ÷ 3 = 5
4
5 je prvočíslo — hotovo
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

Nájdi NSN čísel 12 a 18.

$12 = 2^2 \times 3, \quad 18 = 2 \times 3^2$

$\text{NSN} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Prax: Kryptografia a bezpečnosť internetu

Moderné šifrovacie systémy (ako HTTPS, ktoré chráni tvoje heslá online) sú postavené na prvočíslach. Ak chceme zašifrovať správu, vyberieme dve veľké prvočísla (napr. $p = 61$ a $q = 53$ ) a ich súčin $n = 3\,233$ tvorí základ šifry. Rozložiť $n$ späť na prvočísla je pre počítač aj pri veľkých číslach extrémne ťažké — preto je to bezpečné.

Prax: Rozvrhnutie sedadiel na podujatí

Organizátor chce umiestniť 36 stoličiek do rovnakých radov. Delitele 36 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Môže si vybrať napr. 6 radov po 6 alebo 4 rady po 9. NSD mu pomáha nájsť optimálne rozloženie.

Tip Kde to vidíme v praxi? Prvočísla sú základom internetovej bezpečnosti, kryptografie a šifrovania. Každý nákup cez internet je chránený algoritmami, ktoré využívajú vlastnosti prvočísel. NSD sa hodí pri krácaní zlomkov, NSN pri hľadaní spoločného menovateľa.

Cvičné príklady

Napíš prvočíselný rozklad čísla 72.

Zobraziť odpoveď

72 = 8 × 9 = 2³ × 3².

Nájdi NSD čísel 60 a 90.

Zobraziť odpoveď

60 = 2²×3×5, 90 = 2×3²×5. NSD = 2×3×5 = 30.

Je číslo 97 prvočíslo?

Zobraziť odpoveď

Áno — 97 je prvočíslo (nedeliteľné číslami 2, 3, 5, 7).