Riešenie kvadratických rovníc – krok za krokom

Vedená lekcia o riešení kvadratických rovníc rozkladom, doplnením na štvorec a kvadratickým vzorcom.

Čo je kvadratická rovnica?

Kvadratická rovnica je stupňa 2:

$ax^2 + bx + c = 0$

Existujú tri hlavné metódy riešenia.

Metóda 1: Rozklad na súčin

Ak sa kvadratický výraz dá rozložiť:

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$

Teda $x = 2$ alebo $x = 3$ .

1
Zapíšte v základnom tvare
$ax^2 + bx + c = 0$
2
Nájdite dve čísla, ktorých súčin je c a súčet je b
Pre $x^2 - 5x + 6$ : $p \cdot q = 6$ a $p + q = -5$ , teda $p = -2, q = -3$ .
3
Rozložte a vyriešte
$(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2$ alebo $x = 3$ .

Metóda 2: Kvadratický vzorec

Vždy funguje:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Vyriešte x² + 2x − 8 = 0

$a=1, b=2, c=-8$ , $\Delta = 4 + 32 = 36$

$x = \frac{-2 \pm 6}{2}$ : $x_1 = 2$ , $x_2 = -4$

Metóda 3: Doplnenie na úplný štvorec

1
Presuňte konštantu doprava
$x^2 + 4x = 5$
2
Pridajte (b/2)² na obe strany
$x^2 + 4x + 4 = 9$
3
Rozložte a vyriešte
$(x+2)^2 = 9 \implies x = 1$ alebo $x = -5$

Tip

Ak je diskriminant $b^2 - 4ac < 0$ , rovnica nemá reálne riešenia.

Prax: Plocha záhrady

Záhrada má dĺžku o 3 m väčšiu ako šírku. Plocha je 40 m². Aké sú rozmery?

$x(x+3) = 40 \implies x^2 + 3x - 40 = 0$

$(x+8)(x-5) = 0 \implies x = 5$ m (šírka), dĺžka = 8 m.

Prax: Padajúce teleso

Kameň padá z mosta výšky 20 m. Výška po $t$ sekundách: $h = 20 - 5t^2$ . Kedy dopadne?

$0 = 20 - 5t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = \mathbf{2\text{ s}}$

Tip Kde to vidíme v praxi? Kvadratické rovnice opisujú dráhu hodeného predmetu, plochy obdĺžnikov pri stavbe, optimalizáciu zisku v ekonómii a navrhovaní antén. Všade, kde sa veličiny menia s druhou mocninou — kvadratika je správna voľba.

Cvičné príklady

Rozložte: x² − 7x + 12 = 0

Zobraziť odpoveď

(x−3)(x−4) = 0 → x = 3 alebo x = 4

Kvadratický vzorec: x² − 4x + 3 = 0

Zobraziť odpoveď

Δ = 4. x = (4±2)/2 → x = 3 alebo x = 1

Doplnenie na štvorec: x² + 6x − 7 = 0

Zobraziť odpoveď

(x+3)² = 16 → x = 1 alebo x = −7