Druhé mocniny a odmocniny

Naučte sa, čo sú druhé mocniny (kvadrátne čísla), ako ich počítať a ako nájsť druhú odmocninu čísla.

Čo je druhá mocnina?

Druhá mocnina čísla je výsledok, keď číslo vynásobíme samo so sebou.

$n^2 = n \times n$

Čísla, ktoré sú výsledkom druhej mocniny prirodzeného čísla, nazývame kvadrátne čísla (druhé mocniny).

Tabuľka druhých mocnín

$n$	$n^2$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

Poznámka

Kvadrátne čísla môžeme znázorniť ako štvorce s bodkami. Napríklad $3^2 = 9$ zodpovedá štvorcu 3×3.

Geometrické znázornenie

Plocha štvorca so stranou $a$ je $a^2$ . Preto „druhá mocnina" — umocnenie na 2 súvisí s plochou (dvomi rozmermi).

$\text{Plocha štvorca} = a^2$

Čo je druhá odmocnina?

Druhá odmocnina je obrátená operácia k druhej mocnine. Pýtame sa: „Ktoré číslo umocnené na 2 dá tento výsledok?"

$\sqrt{25} = 5 \quad \text{pretože} \quad 5^2 = 25$

Zápis: $\sqrt{n}$ alebo $n^{0{,}5}$

Príklady odmocnín

$\sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{100} = 10$

Upozornenie

Odmocnina zo záporného čísla nie je reálne číslo (napr. $\sqrt{-4}$ nie je definovaná v číslach, ktoré poznáš). Odmocniny počítame len z nezáporných čísel.

Využitie v praxi

Keď poznáme plochu štvorca, vieme vypočítať dĺžku jeho strany:

$a = \sqrt{\text{plocha}}$

Príklad: Štvorcová záhrada má plochu 64 m². Aká dlhá je jej strana? $a = \sqrt{64} = 8 \text{ m}$

Vypočítaj: 7² + √81

$7^2 = 49$
$\sqrt{81} = 9$
$49 + 9 = \mathbf{58}$

Prax: Štvorcová záhrada

Záhrada má tvar štvorca s plochou 81 m². Majiteľ chce oplotenie po celom obvode. Aká je dĺžka strany a aký je obvod?

$a = \sqrt{81} = 9\text{ m}$ → Obvod: $4 \times 9 = \mathbf{36\text{ m}}$ oplotenia.

Prax: Pythagorova veta v stavbe

Murár umiestňuje roh steny pod pravým uhlom. Odmeria 3 m na jednu stenu a 4 m na druhú. Uhlopriečka musí byť:

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5\text{ m}}$

Ak je uhlopriečka 5 m, roh je pravý — starý tesársky trik.

Prax: Energia v pohybe (kinetická energia)

V fyzike $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ . Pre auto s hmotnosťou 1 000 kg a rýchlosťou 10 m/s:

$E_k = \frac{1}{2} \times 1\,000 \times 10^2 = 500 \times 100 = \mathbf{50\,000\text{ J}}$

Druhá mocnina rýchlosti — preto je energia pri náraze 4-násobná, ak sa rýchlosť zdvojnásobí!

Tip Kde to vidíme v praxi? Druhé mocniny sa objavujú v geometrii (plochy štvorcov), Pytagorovej vete (stavba), fyzike (energia, rýchlosť) aj informatike (zložitosť algoritmov). Odmocniny pomáhajú vrátiť sa „späť" — napr. z plochy na dĺžku strany.

Cvičné príklady

Vypočítaj: 9²

Zobraziť odpoveď

9 × 9 = 81.

Nájdi √144.

Zobraziť odpoveď

12, pretože 12 × 12 = 144.

Štvorcová izba má plochu 36 m². Aká je dĺžka jej steny?

Zobraziť odpoveď

√36 = 6 m.