Was ist binäre Addition?
Du weißt bereits, wie man im Dezimalsystem (Basis 10) rechnet, wo die Ziffern von 0 bis 9 gehen. Die binäre Addition funktioniert genauso, aber es gibt nur zwei Ziffern: 0 und 1. Das nennt man Basis 2.
Da es nur zwei Ziffern gibt, kommt es viel früher zum „Übertrag" als im Dezimalsystem.
Die vier Regeln der binären Addition
Es gibt nur vier mögliche Kombinationen beim Addieren zweier Binärstellen:
| A | B | Summe | Übertrag |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Die wichtigste Regel: 1 + 1 = 10 im Binärsystem (was im Dezimalsystem 2 ergibt). Das Ergebnis ist 0 mit einem Übertrag von 1.
Wenn du im Binärsystem einen Übertrag hast, trägst du einen Wert von 2 in die nächste Stelle über – genau wie im Dezimalsystem einen Wert von 10 in die nächste Stelle überträgst.
Ein Schritt-für-Schritt-Beispiel
Addieren wir 0110 (6) und 0011 (3) im Binärsystem.
0110
+ 0011
------
Von rechts nach links, Stelle für Stelle:
- Stelle 1 (ganz rechts): 0 + 1 = 1. Schreibe 1, Übertrag 0.
- Stelle 2: 1 + 1 = 10. Schreibe 0, Übertrag 1.
- Stelle 3: 1 + 0 + 1 (Übertrag) = 10. Schreibe 0, Übertrag 1.
- Stelle 4: 0 + 0 + 1 (Übertrag) = 1. Schreibe 1, Übertrag 0.
Ergebnis: 1001 – das entspricht 9 im Dezimalsystem. Probe: 6 + 3 = 9. Korrekt!
Überlauf (Overflow)
Ein Überlauf tritt auf, wenn das Ergebnis einer Binäraddition zu groß ist, um in der verfügbaren Anzahl von Bits gespeichert zu werden. Wenn ein Computer Zahlen mit 4 Bits speichert (Maximalwert 15) und man 1110 (14) und 0011 (3) addiert, ergibt das 10001 (17) – aber das 5. Bit hat keinen Platz mehr. Dies kann zu Fehlern in Programmen führen.
Überlauf ist ein echtes Problem in der Informatik. Programmierer müssen Datentypen mit genügend Bits wählen, um den größtmöglichen Wert ihres Programms aufzunehmen.
Warum ist das wichtig?
Jede Berechnung, die dein Computer durchführt – Punkte in einem Spiel addieren, ein Bankkonto berechnen, ein Foto bearbeiten – wird letztendlich auf der Hardware-Ebene in Binärform ausgeführt. Das Verstehen der binären Addition hilft dir zu verstehen, wie CPUs auf ihrem fundamentalsten Niveau funktionieren.
Übungsaufgaben
Addiere die Binärzahlen 0101 und 0110. Zeige deinen Rechenweg und wandle das Ergebnis ins Dezimalsystem um.
Antwort anzeigen
Ein Computer verwendet 4-Bit-Speicher. Was ist die größte Zahl, die er speichern kann, und was passiert, wenn man 1 dazu addiert?