Beschleunigung und Bewegungsgleichungen

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung, beschrieben durch kinematische Gleichungen, die Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit verknüpfen.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bei konstanter Beschleunigung $a$ :

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm mit konstanter Beschleunigung

Definition der Beschleunigung

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v - u}{t}

a = Beschleunigung (m/s²), v = Endgeschwindigkeit, u = Anfangsgeschwindigkeit, t = Zeit

Die vier kinematischen Gleichungen (SUVAT)

Gleichung	Fehlende Größe
$v = u + at$	$s$
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$	$v$
$v^2 = u^2 + 2as$	$t$
$s = \frac{1}{2}(u+v)t$	$a$

Hinweis

SUVAT-Größen: $s$ = Weg, $u$ = Anfangsgeschwindigkeit, $v$ = Endgeschwindigkeit, $a$ = Beschleunigung, $t$ = Zeit.

Ein Ball wird senkrecht nach oben mit 20 m/s geworfen. Bestimme die maximale Höhe (g = 10 m/s²)

Bei maximaler Höhe gilt $v = 0$ . Verwende $v^2 = u^2 + 2as$ :

$0 = 400 + 2(-10)s \implies s = 20 \text{ m}$

Praxisbezug: Auto beschleunigt an einer roten Ampel

Ein Auto startet aus dem Stand und erreicht in 8 Sekunden 60 km/h (≈ 16,7 m/s). Seine Beschleunigung:

$a = \dfrac{16{,}7 - 0}{8} \approx 2{,}1 \text{ m/s}^2$

Zurückgelegte Strecke: $s = \frac{1}{2} \times 2{,}1 \times 64 \approx 67 \text{ m}$

Praxisbezug: Zug bremst in einem Bahnhof

Ein Zug fährt mit 90 km/h (25 m/s) und muss innerhalb von 500 m zum Stehen kommen. Benötigte Verzögerung:

$v^2 = u^2 + 2as \implies 0 = 625 + 2a \cdot 500 \implies a = -0{,}625 \text{ m/s}^2$

Das negative Vorzeichen zeigt die Verzögerung (Bremsen) an.

Praxisbezug: Radfahrer beschleunigt bergab

Ein Radfahrer beginnt eine Abfahrt mit 5 m/s und erreicht nach 10 Sekunden 15 m/s. Seine Beschleunigung:

$a = \dfrac{15 - 5}{10} = 1 \text{ m/s}^2$

Tipp

Wo begegnest du das im Alltag? Autohersteller werben mit „0–100 km/h in X Sekunden" — das ist eine Beschleunigungsangabe. Das Antiblockiersystem (ABS) steuert die Verzögerung beim Bremsen. Achterbahnen werden genau nach den Beschleunigungen entworfen, die der menschliche Körper verträgt.

Übungsaufgaben

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand mit 3 m/s² für 8 s. Bestimme die Endgeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg.

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v = 0 + 3×8 = 24 m/s. s = ½ × 3 × 64 = 96 m

Ein Körper verzögert von 30 m/s auf 0 in 5 s. Bestimme die Verzögerung.

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a = (0 − 30)/5 = −6 m/s²